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2025-2026学年江苏省宿迁市第一高级中学高一上学期9月阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”( )
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.已知集合，则的非空真子集个数为( )
A. B. C. D.
5.已知，且，那么( )
A. B.
C. D. 与的大小随变化而变化
6.设集合，则( )
A. B. C. D.
7.已知正实数满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，若，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知实数，满足，，则( )
A. 的取值范围为 B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
11.如图所示，四边形为梯形，其中，为对角线的交点有条线段、、、夹在两底之间．表示平行于两底且于他们等距离的线段即梯形的中位线，表示平行于两底且使梯形与梯形相似的线段，表示平行与两底且过点的线段，表示平行于两底且将梯形分为面积相等的两个梯形的线段下列说法中正确的有( )
A. 若，则． B. ，使得
C. D. ，．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
13.某班有名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和物理小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和化学小组的有 人．
14.已知正数，满足，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合．
求；
如图阴影部分所表示的集合可以是 把正确答案序号填到横线处，并求图中阴影部分表示的集合；

16.本小题分
已知集合，集合，集合．
求的子集的个数；
若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求的值；
当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价单位：元与销量单位：万件之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完当公司销售万件衣服时，年利润为万元当公司销售万件衣服时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年销量万件的函数解析式
当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润．
19.本小题分
问题：正数，满足，求的最小值其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题：
若正实数，满足，求的最小值；
若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由；
若，利用的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为，
所以
根据韦恩图确定阴影部分所表示的集合为：，
或，所以．

16.【详解】由可得，即，所以或，
因为，所以，
所以的子集的个数为．
因为命题“，都有”是真命题，所以
当时，，即，符合题意；
当时，，解得；综上可得实数的取值范围是．

17.【详解】由题意得为方程的两个根，
则，解得；
由得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
要想恒成立，只需，解得，
故实数的取值范围是．

18.解：因为当销售万件衣服时，年利润为万元，所以，解得，
当销售万件衣服时，年利润为万元，所以，解得，
当时，
当时，，
所以
当时，，所以
当时，，由于，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值为，
综上可知，当时，取得最大值为万元．
19.【详解】解：，，，则，
所以，，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值是．
解：，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即同号时等号成立．
此时，满足；
解：令，，构造，
所以，即，因此，，
所以，
取等号时，即，结合，解得，，
即，．
所以时，取得最小值．

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