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2025-2026学年广西壮族自治区高二上学期9月入学摸底大联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合且，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.在中，角的对边分别为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，若定义域为，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在正方体中，棱长为，，分别为和上的点，，则与平面的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是( )
A. 设有一大批产品，已知其次品率为，则从中任取件，必有件是次品
B. 做次抛硬币的试验，结果次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D. 利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过，所估计出的概率也不一定很准确．
10.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 若函数过定点，则函数经过定点
C. 函数在上单调递减
D. 图象关于原点成中心对称
11.在长方体中，已知，，、分别为、的中点，则( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 若点为长方形内一点包括边界，且平面，则长的最小值为
D. 过点，，的平面截长方体所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 ．
13.某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形如图所示，已知，，，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的侧面积为 ，其中，分别是上、下底面圆的半径，是母线长
14.若一组数据，，，，的方差为，则，，，，的标准差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间内三点，，．
求的余弦值；
求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积．
16.本小题分
的内角的对边分别为，
求；
设为边上一点，且，求的面积．
17.本小题分
某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取件，测得产品质量差质量差生产的产品质量标准质量，单位的样本数据统计如下：
求样本数据的分位数；精确到
公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；
假如公司包装时要求，件一等品和件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出件产品进行检验，求摸出件产品中至少有件一等品的概率．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的取值范围；
若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知均为等腰直角三角形，且，平面平面平面四边形中，平面，点为的中点，连接．
求证：；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：、，
则，
即的余弦值为；
，，
则，
则，
则．

16.解：由已知可得，因为，所以．
在中，由余弦定理得，
即，
解得舍去，．
解：由题设可得，所以．
故又，
所以．

17.解：由于前组的频率和为，前组的频率和为，
所以可知分位数一定位于第三组内，
设分位数为，则，解得
根据频率直方图计算样本平均数：
因为样本标准差，，所以，又，
则可知该产品属于一等品．
记三件一等品为，两件二等品为，
摸出两件产品总基本事件共个，分别为：
，，，，，，，，，，
设摸出两件产品中至少有一个一等品记为事件，则包含的基本事件共个，分别是：
，，，，，，，，，
所以．
则摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为．

18.解：
，
又，
，故的取值范围为
，
当时，，
有两个不同的实数根，
又在上单调递增，在上单调递减，且当时，
作出函数的图象如图所示，
由正弦函数图象可知，解得，
故实数的取值范围是．

19.解：证明：均为等腰直角三角形，
且，
为二面角的平面角．
又平面平面．
又平面平面，
平面．
平面，平面平面，平面，
，即，
又，
四边形是平行四边形，．
平面，又平面，
．
由知两两垂直，
故以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
不妨设，则，
．
设平面的法向量为，
则，令，则．
设平面的法向量，
则，不妨令，则，
所以平面的法向量为．
所以，
故所求二面角的正弦值为．

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