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2025-2026学年湖北省襄阳市荆楚联盟高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用，表示该次投掷未在 环以上，用，，，，，，，表示该次投掷在 环以上，经随机模拟试验产生了如下 组随机数：


据此估计，该选手投掷 轮，可以拿到优秀的概率为( )
A. B. C. D.
2.设、，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，已知两个系统至少有一个能正常运作，小区就处于安全防范状态。若要求小区在任意时刻均处于安全防范状态的概率不低于，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在棱长为的正方体中，若点是线段的中点，点是底面内的动点，且满足，则线段的长的最小值为( )
A. B. C. D.
8.空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球标号为和，个白色球标号为和，从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则( )
A. 与互斥 B. 与相互独立
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为平面的法向量为则
B. 对空间任意一点和不共线三点，，，若则，，，四点共面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
D. 已知若与的夹角为钝角，则
11.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为 ．
13.已知事件与相互独立，，，则 ．
14.如图，正方形和正方形的边长都是，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校对高一年级名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：
男同学 女同学
满意
不满意
从这名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率
该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取人进行进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这人中随机选出人发一份小礼品，求这人恰好是一男一女的概率．
16.本小题分
如图，平行六面体中，底面是边长为的正方形，，设，，

试用，，表示向量、；
若，求向量与所成的角的余弦值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．
求证：平面
若平面平面，求点到平面的距离．
18.本小题分
为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动现有甲、乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目规则如下：
抛一次质地均匀的硬币，若正面朝上，则由甲回答一个问题，若反面朝上，则由乙回答一个
问题．
回答正确者得分，另一人得分回答错误者得分，另一人得分．
若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分．
已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立．
求乙同学最终得分的概率
记为甲同学的最终得分，求的概率．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：从这名学生中随机抽取一人，是女同学且对食堂满意的概率为．
这人中的男生人数为，女生人数为．
记名女生为，，，名男生为，．
样本空间，共个样本点．
设事件“这人恰好是一男一女”，则，共个样本点．
故所求概率．
16.【详解】，
．
因为，

，
，
，
所以，
即向量与所成的角的余弦值为．

17.【证明】在四棱锥中，连接交于点，则为的中点，连接
为的中点，．
又平面，平面，
平面．
【解】方法一：四边形是菱形，且，
为正三角形，
取的中点，连接，，则．
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
，是正三角形，，易得，
．
连接，
，．
取的中点，连接．，，
，可得．
设点到平面的距离为，
由，得 ，解得，
即点到平面的距离为．
方法二：四边形是菱形，且，
为正三角形取的中点，连接，，则
平面平面，平面平面，平面，
平面
是正三角形，．
以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
又，则，，，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则即
令，则
又，设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为．
18.解：设乙同学最终得分为事件，则可能情况为甲回答两题且错两题，甲、乙各答一题且各对一题，乙回答两题且对一题错一题，
则，即乙同学最终得分的概率是．
设“”为事件，
，
，
．
故．
19.【详解】底面中，已知，，，
由余弦定理得，
所以，
又平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面；
由可知三直线两两垂直，可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
设平面与平面的法向量分别为，
则有及
取，取，
即，
设平面与平面的夹角为，则；
假设存在，不妨设，由可知，
则，
设与平面所成角为，
则，
解之得或，即存在符合题意，此时或．

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