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2024-2025学年三门峡市渑池第二高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平行四边形中，等于( )
A. B. C. D.
2.与向量反向的单位向量是( )
A. B. C. D.
3.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.设平面向量，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 两条直线确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面
6.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.的内角，，的对边分别为，，已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，，则( )
A. B. C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为
10.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有( )
A.
B. 与异面
C. 与异面
D.
11.已知复数，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知圆锥的母线长为，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为 ．
14.已知向量，，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______用区间表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，向量，
Ⅰ当与平行时，求；
Ⅱ当与垂直时，求
16.本小题分
如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，求证：
四边形是菱形；
平面．
17.本小题分
已知中，，，分别为角，，的对边，且．
求；
若，是的中点，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在棱上，平面．
试确定点的位置，并说明理由；
求四棱锥的表面积．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，且．
求的大小；
若边上的中线，求的周长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.解：Ⅰ，，，，，
又与平行，，化为，解得．
Ⅱ，，
化为，
解得 或，
当时，，，．
当时，，，．
或．
16.证明：由题意得，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，
则是的中位线，是的中位线，
由中位线定理得，且，
同理可得，，
因为，
所以，
因为，，
所以，
故四边形为平行四边形，
因为，
所以四边形是菱形，得证；
由可得，
而平面，且平面，
得到平面，
故AC平面，得证．
17.解：在中，因为，即，
由余弦定理可得：，
可得，
因为，
所以；
因为是的中点，所以，
可得，，，
即，
解得，，
所以的面积为．
18.解：设，则是的中点，
设点为中点，
在中，，平面，平面，
平面．
故当点为中点时，平面．
四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，
四棱锥的表面积．
19.解：因为，且，
由正弦定理可得：
又，所以，
即，
又因为，，
所以，即，
可得；
由得，则是以为顶角的等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
解得，
即，
由正弦定理可得，即，
可得，
所以．
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