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2024-2025学年福建省莆田市锦江中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量满足，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形中的( )
A. B.
C. D.
6.设，，是三条不同直线，，，是三个不同平面，若，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则，异面
C. 若，，，则 D. 若，，则
7.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征如图图是一个圆台的侧面展开图扇形的一部分，若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.记的内角，，所对的边分别为，，，若，
则边上的中线长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A. 复数的虚部为
B.
C.
D. 复数满足，则的最大值为
10.下列说法中正确的有( )
A. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
B. 向量，能作为平面内的一组基底
C. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量是
D. 若非零向量，满足：，则与的夹角为
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 不存在点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥的体积为
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量、满足，，，则与的夹角等于______．
13.若复数为纯虚数，则实数 ______．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体，挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
计算复数，并求；
若复数满足，求实数，的值．
16.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，且．
求角的大小；
若，且，求，的值．
17.本小题分
如图：在正方体中，为的中点．
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
18.本小题分
如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．
若，求和的值；
若，求的最小值．
19.本小题分
如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．
求圆柱的侧面积和体积；
求三棱锥体积的最大值；
若，是的中点，点在线段上，求的最小值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，
所以．
由，得，
化简得，
即，
所以，解得，．
16.解：因为，
由正弦定理整理可得，
在中，，且，
可得，
又因为，
所以；
，且，
由余弦定理可得，
即，
解得，
联立，
解得，
所以，的值分别为，．
17.证明：设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，
是中点，是的中点，
，
平面，平面，
平面；
为的中点，为的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，
平面，
平面，
由知平面，
，平面，平面，
平面平面．
18.解：由，得，可得，
所以，
由点是线段的中点，可得，
又因为，且不共线，所以根据平面向量基本定理，得；
因为，，
由得，可知，
根据、、三点共线，得，即，
所以
由，，得，
所以，即，
当且仅当，即时取等号，可知的最小值为．
19.解：已知是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，
圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积，
圆柱的体积．
三棱锥的高，底面三角形中，，
则当点到的最大值等于底面圆的半径，
所以三棱锥体积的最大值．
将绕着旋转到使在的反向延长线上，
，，，
，
，
，
即的最小值为等于．
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