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2025-2026学年江西省赣州市赣县实验学校高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知的终边在第四象限，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，，，分别是，，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.“或”是“定点在圆的外部”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，都是实数，下列命题是真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若直线倾斜角，则斜率的取值范围是
B. 直线恒过定点
C. 若直线：与：互相垂直，则
D. 若直线：与：平行，则与的距离为
11.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 图象的一条对称轴方程为
C. 在区间上先单调递增后单调递减
D. 在区间上恰有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的个球，其中有个红球和个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是______
13.已知向量，满足，，且，则______．
14.直线：被圆：截得的弦的长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知方程．
求该方程表示一条直线的条件．
当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程．
已知方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值．
若方程表示的直线的倾斜角是，求实数的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，为锐角，且．
求；
设为的中点，若，且，求的面积．
17.本小题分
某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组，其中第二组的频数是第五组的频数的倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题．
若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？
李老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人，求选出的人来自不同组的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
函数是定义在上的奇函数，且．
求的解析式；
证明在上为增函数；
解不等式．
参考答案
1.
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14.
15.解：当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线，
令，解得，；
令，解得，；
方程表示一条直线的条件是：，且．
由易知，当时，方程表示的直线的斜率不存在，
此时的方程为：，它表示一条垂直于轴的直线．
依题意，有，
，
解得或，由易知，所求；
直线的倾斜角是，
其斜率为，
，解得或舍去．
直线的倾斜角是时，．
16.由，得，
整理得，所以A.
所以，即A.
又为锐角，所以，故．
在中由余弦定理得，即，
在中由余弦定理得，
得，即．
因为，所以，，
所以．
17.由题意知，第二组的频数是第五组的频数的倍，所以，
又，所以，，
因为内的频率为，
在内的频率为，
所以第百分位数在内，且为，
所以晋级分数线划为分合理；
因为，所以，
所以，所以，
剔除其中的和这个分数，设剩余个分数为，，，，，
平均数与标准差分别为，
则剩余个分数的平均数，
方差；
根据题意可知按分层抽样法，这三组应分别抽取人，人，人，
分别记为，，，；，；，
则从这名学生中随机选出人所得样本空间为：
，共个样本点，
“选出的人来自于不同组”，则，共个样本点，
所以．
18.证明：在四棱锥中，取中点，连接，，
为的中点，为中点，
所以，且，
又，，，，
所以有，且，
所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
底面是直角梯形，，平面，平面，
所以平面，
则点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以三棱锥的体积，
又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
所以，
又，，，
所以，故AB，
又，，所以，
平面平面，且平面平面，
又平面，所以平面，
故．
因为平面平面，且其交线为，
又平面，，
所以平面，
取的中点，连接，
在中，，分别为，的中点，
所以，
则平面，
过作于，连接，则有，
所以为二面角的平面角，
在直角梯形中，，，所以，所以，
又，所以，
在中，，所以，
即二面角的余弦值为．
19.解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
此时，又，
所以，解得，
所以．
证明：任取，，且，
则，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以在上为增函数．
函数是定义在上的奇函数，由，
得，
又在上为增函数，
所以解得，即
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