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2025-2026学年河北省衡水市安平中学高一（上）9月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是( )
A.
B.
C.
D.
3.““是””的条件．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知集合，，，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.已知全集，集合，，则正确的关系是( )
A. B. C. D.
6.已知集合有且仅有个真子集，则实数的取值集合为( )
A. B.
C. D.
7.已知集合，，，，则中所含元素的个数为( )
A. B. C. D.
8.已知集合，若，且同时满足：若，则；若，则A.则集合的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关系中，正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知集合，，且，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 方程组的解集是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合与集合相等，则实数______．
13.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试已知有名学生参加了数学考试，名学生参加了物理考试，名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的倍，也是参加三门考试学生数的倍，则学生总数为______．
14.设，是中两个子集，对于，定义：
若则对任意， ；
若对任意，，则，的关系为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求，；
求，．
16.本小题分
已知集合，．
若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
若集合，．
若，写出的子集；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知集合，．
若，求；
若，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
若集合中的元素都可以表示为某两个整数的平方和，即，则称集合为“弦方集”
分别判断，，，是否为弦方集中的元素；
已知集合为弦方集，且，正整数能表示为某个整数的平方，证明：；
已知集合为弦方集，集合，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.集合，，，
，
．
由题意得，，，
所以，
．
分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
16.解：若成立的一个必要条件是，所以，
因为集合，．
则，所以，
故实数的取值范围．
若，则或，
所以或，
故实数的取值范围．
17.，
当时，，
，
．
其子集为：，，，，，，，．
，．
分为两种情况：
当时，符合题意，此时，解得；
当时，则或或：
若或，则，
解得，此时，符合题意；
若，则有，无解．
综上所述，实数的取值范围为．
18.当时，，，
所以；
因为，，
所以由，得，
当时，则，解得，
当时，，解得，满足题意；
综上，，故实数的取值范围为；
由是的充分不必要条件，可得，
又，，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．
19.由题意，若，则为“弦方集”，
因为，，，
所以，，是弦方集中的元素．
不存在，，使得，
所以不是弦方集中的元素；
证明：依题意，集合为弦方集，且，
即存在，，使得，
正整数能表示为某个整数的平方，即存在，，，
所以，，，
所以是弦方集中的元素，即；
证明：假设，则存在，，，，
使得，由于是奇数，所以是奇数，
所以，一个是奇数，另一个是偶数，
不妨设，，，，
则，
而除以的余数为，除以的余数为，
所以，与已知矛盾，所以．
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