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2025-2026学年中国人民大学附属中学高一上学期第一次月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，方程至少有解，则为( )
A. ，方程无解
B. ，方程至多有解
C. ，方程至多解
D. ，方程无解
3.“”是“关于的方程有实数根”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.如果，是实数，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设集合，则是的真子集的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.若，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知，则的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
8.若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.记关于的三个方程分别为：
；
；
，其中是正实数，且满足．
则下列选项中，能推出方程无实根的是( )
A. 方程有实根，且有实根 B. 方程有实根，且无实根
C. 方程无实根，且有实根 D. 方程无实根，且无实根
10.设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：
存在的两个不同子集，使得任意都满足且；
任取的两个不同子集，对任意都有；
设，对任意，都有．
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知，，则 ．
12.若关于的方程组有无穷多组解，则的值为
13.若关于的方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ．
14.已知集合的子集不超过个，则实数的取值范围为 ．
15.设是非空数集，若对任意，都有，则称具有性质给出以下命题：
若具有性质，则可以是有限集；
若具有性质，且，则具有性质；
若具有性质，则具有性质；
若具有性质，且，则不具有性质．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知全集，集合，．
若，求实数的取值范围；
若，均有，直接写出实数的取值范围；
若，且，直接写出实数的取值范围．
17.本小题14分
已知关于的方程组，其中．
当时，求该方程组的解集；
若该方程组总有两组不同的解，求的取值范围；
记该方程组的两组不同的解分别为和，已知，求的值．
18.本小题14分
设为正整数，若满足：
；
对于，均有．
则称具有性质．
对于和，
定义集合．
设，若具有性质，写出所有可能的及相应的；
设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由；
选做设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.由题意，．
，
当，即，即时，符合题意；
当，即时，由，得或，得．
综上，实数的取值范围为．
若，均有，时，满足题意，
时，，解得，所以，
综上，，即的取值范围是；
若，且，它的否定是，，
先求，则时的范围，
这样若，即时，满足题意，
在时，或，或，所以，
综上或，
因此原命题，且，为真时，的范围是即．
17.当时，，解得或
故方程组的解集为
，消去得，，
，
故的取值范围为；
原式，
解得，或舍去
综上所述，．
18.由定义可知，或或或或或，
时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
时，．
假设存在和均具有性质，且，
则的取值分别为，，，，，，即，
因为与同奇同偶，所以与同奇同偶．
又因为为奇数，而为偶数，
所以，与奇偶性不同，假设不成立．
综上，不存在均具有性质的和，满足．
不妨设满足题意的和构成一个数表：
交换数表中两行，可得数表：
调整数表各列的顺序，使第一行变为，
设第二行变为，
令，则具有性质，且．
假设与相同，
则．
不妨设，则有，故．
因为，所以．
因为，所以，这与矛盾．
故对于具有性质的，
若具有性质，且，
则存在一个具有性质的，
使得，且与不同．
并且由的构造过程可以知道，当确定时，唯一确定．
同理，由也仅能构造出唯一确定的．
综上，对于给定的，满足题意的有偶数个，命题得证．

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