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专题4.7 探究与表达规律
1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；
2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证；
3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.数列的规律 2
考点2.数（图）表的规律 4
考点3.算式的规律 6
考点4.图形的规律（一次类） 8
考点5.图形的规律（二次类） 10
考点6.图形的规律（指数类） 12
考点7.循环规律类问题 14
模块3：培优训练 15
1.规律探索型问题解题技巧
1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
考点1.数列的规律
例1．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
例2．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级上·北京·期中）找规律填数字是一个很有趣的活动，特别锻炼观察和思考能力．下列选项中，填入数列“1，，，，（　　），，正确的是（　　）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）观察下面三行数：
…；①
，…；②
，…．③
(1)第③行第8个数是_________（用乘方形式表示）；(2)第①②行的数与第③行的数分别有什么关系？
(3)取每行中的第8个数，计算它们的和．
变式3．（2025·山东聊城·一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ）
A．676 B．675 C．674 D．1350
考点2.数（图）表的规律
例1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ．
变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下面一列数：，，，，，，，，……将这列数排成下列形式：


……
按照上述规律排下去，那么数是第 行从左边数第 个数．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 …
第1行 1 4 5 16 17 …
第2行 2 3 6 15 18
第3行 9 8 7 14 19
第4行 10 11 12 13 20
第5行 25 24 23 22 21
第6行 26 …
变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图，下列各个三角形中的三个数均有相同规律，则最后两个三角形中，的值为（ ）
A．154 B．145 C．164 D．173
考点3.算式的规律
例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列各式：
；
；
；……
由此我们可以得到：（　　）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式：
；
；
；
……
根据上述规律，请判断下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题．
(1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子；
(2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，…
根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________；
(3)运用（2）中发现的规律，计算：．
变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）观察下列各式：，，，，…，根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)______；（写出算式即可） (2)求的值．
考点4.图形的规律（一次类）
例1．（2024·陕西西安·模拟预测）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
变式1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
变式2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（ ）

A．根 B．根 C．根 D．根
变式3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个 平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个 组成，第②个图案由7个 组成，第③个图案由10个 组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的 个数为（ ） ．
A． B． C． D．
考点5.图形的规律（二次类）
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）观察下面图中小圆圈的排列方式，可以推算出第9幅图中有 个小圆圈．
变式1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如下“牛气图”．请根据下图规律，计算第15个图案中一共有多少个“牛”字？（ ）
A．119 B．120 C．121 D．5050
变式2．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形3中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，按此规律，图形⑥中共有（ ）个小三角形

A．27 B．32 C．21 D．36
考点6.图形的规律（指数类）
例1．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（ ）
A． B． C． D．
例1．（23-24七年级上·江苏·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简， ．
变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ．
变式2．（2024·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
图1 图2 图3 图4
○的个数 3 9 21 ______
▲的个数 1 4 10 ______
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
考点7.循环规律类问题
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
变式1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）探索规律：，，，，，…，那么的个位数字是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
变式2．（24-25七年级上·北京西城·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．例如：3的“哈利数”是，的“哈利数“是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A． B． C． D．3
变式3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·上海·期中）用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律，则第2024个图形共有（ ）枚棋子
A．2024 B．6078 C．6075 D．6074
2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）苯的同系物是化工生产中重要的原料，如图是一系列苯的同系物的结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子，图①有7个碳原子，8个氢原子；图②有8个碳原子，10个氢原子；图③有9个碳原子，12个氢原子……按照其结构规律，若某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
3．（2025·重庆·一模）如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个
A．30 B．34 C．38 D．42
4．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（ ）

A．56 B．58 C．63 D．74
5．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑧中的棋子颗数为（ ）
A．55 B．68 C．72 D．85
6．（2025·重庆·模拟预测）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑦中苯环的个数为（　　）
A．34个 B．35个 C．36个 D．37个
7．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第n幅图中有平行四边形(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2024·山东济宁·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为 。
12．（2024七年级·广东·专题练习）正奇数1，3，5，7，9，…，按如下规律排列，则第8排从左数第2个数是 。
13．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是 。
14．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ．
15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个正方形……，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第100个正方形比第99个正方形多 个正方形．
16．（2025·广西防城港·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形
(1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________；
(2)求第2024个图形中三角形的个数．
18．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式：
；
；
；
；…．
(1)根据规律计算的值为______；(2)计算的值．
19．（24-25七年级上·江西南昌·期中）观察下列式子：
第1个式子：．第2个式子：．
第3个式子：．第4个式子：．…
请你按照上述规律，回答下列问题：(1)写出第5个式子：______．
(2)写出第n个式子：______（用含n的式子表示）．(3)请你按照规律计算的值．
20．（24-25·湖南张家界·统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，
①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如数列①中数列②中那么数列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．
21．（24-25·江苏泰州·七年级校考期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有个小正方形；
(3)借助以上结论计算：．
22．（2024·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
23．（2024·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形的宽为1，长为的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应的值．
24．（2024·广东·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有　 　个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有　 　个正方形？(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
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专题4.7 探究与表达规律
1. 通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；
2. 能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示， 并通过计算验证；
3. 在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
考点1.数列的规律 2
考点2.数（图）表的规律 4
考点3.算式的规律 6
考点4.图形的规律（一次类） 8
考点5.图形的规律（二次类） 10
考点6.图形的规律（指数类） 12
考点7.循环规律类问题 14
模块3：培优训练 15
1.规律探索型问题解题技巧
1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量。所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律。所以抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键。而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了。
3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律。而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算。因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子。所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径。
4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。
2、规律探索型问题常见类型
1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。
3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。
考点1.数列的规律
例1．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是 ，第个数是 ．
【答案】
【详解】解：，，，，…，这组数为：，，，…，
这一组数的第个数是，第个数是，故答案为：，．
例2．（2025·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的多项式：，，，，，第个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由第个多项式是，第个多项式是，
第个多项式是，第个多项式是，
则第个多项式是，故选：B．
变式1．（24-25七年级上·北京·期中）找规律填数字是一个很有趣的活动，特别锻炼观察和思考能力．下列选项中，填入数列“1，，，，（　　），，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：观察所给数列可知，
∵，，，…，由此可见，相邻两数的差依次增加，
∴，且，∴空缺处的数字为．故选：A．
变式2．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）观察下面三行数：
…；①
，…；②
，…．③
(1)第③行第8个数是_________（用乘方形式表示）；
(2)第①②行的数与第③行的数分别有什么关系？
(3)取每行中的第8个数，计算它们的和．
【答案】(1) (2)第①行中每个数字等于第③行的对应位置的数字的一半，第②行中每个数字等于第③行的对应位置的数字减2 (3)
【详解】（1）解：由题意知，，，，，，，…，
∴可推导一般性规律为：第n个数为，∴第8个数是；
（2）解：由题意知，①和③中，，，，，，，…， ∴第①行中每个数字等于第③行的对应位置的数字的一半；
②和③中，，，，，，…，
∴第②行中每个数字等于第③行的对应位置的数字减2；
（3）解：根据解析（1）（2）可知：第①行的第8个数字为，则第②行的第8个数字为，第③行第8个数字为，∴三个数的和为，∴三个数的和为．
变式3．（2025·山东聊城·一模）1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ）
A．676 B．675 C．674 D．1350
【答案】B
【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．故选：B．
考点2.数（图）表的规律
例1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为，则 ．
【答案】
【详解】解：由题知
，
，
，
，…，
所以．
当时，．故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）观察下面一列数：，，，，，，，，……将这列数排成下列形式：


……
按照上述规律排下去，那么数是第 行从左边数第 个数．
【答案】
【详解】解：通过观察奇数的符号是负，偶数的符号是正，每行数的个数是奇数为个数，
，
，，数是第行从左边数第个数；故答案为：，．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第1列第9行的数为 ，再根据第1行的偶数列的规律，写出第3行第6列的数为 ，判断2024所在的位置是第 行，第 列．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 …
第1行 1 4 5 16 17 …
第2行 2 3 6 15 18
第3行 9 8 7 14 19
第4行 10 11 12 13 20
第5行 25 24 23 22 21
第6行 26 …
【答案】 81 34 45 2
【详解】解：根据题意得：第1列第1行的数为，
第1列第3行的数为，第1列第5行的数为，
由此得到第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，
∴第1列第9行的数为9的平方，即：；根据题意得：第1行第2列的数为，
第1行第4列的数为，第1行第6列的数为，
∵第6列的数向下依次减小，∴第3行第6列的数为34；
∵，∴2025在第1列第45行，而奇数行的数往后在递减，
∴2024在2025的后面，即第2列第45行，故答案为：81；34；45；2．
变式3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）如图，下列各个三角形中的三个数均有相同规律，则最后两个三角形中，的值为（ ）
A．154 B．145 C．164 D．173
【答案】C
【详解】解：∵观察可知：左上角三角形的数字规律为：1，2，…，n，
右上角三角形的数字规律为：，，，…，，
下边三角形的数字规律为：，，…，，
∴，，∴．故选C．
考点3.算式的规律
例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）观察下列各式：
；
；
；……
由此我们可以得到：（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意得：，故选：C
变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式：
；
；
；
……
根据上述规律，请判断下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：；；；……
观察上述等式，可得规律为，
∴，故选：A．
变式2．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题．
(1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子；
(2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，…
根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________；
(3)运用（2）中发现的规律，计算：．
【答案】(1)(2)(3)2500
【详解】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子，第二层有个棋子，
第三层有个棋子，第四层有个棋子，第五层有个棋子，
第六层有个棋子，……，由此发现，第n层有个棋子，故答案为：；
（2）解：∵前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，
∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，…
∴前n层棋子的个数和，
即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为．
故答案为：；
（3）解：由（2）知，，
当，即时，∴．
变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）观察下列各式：，，，，…，根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)______；（写出算式即可） (2)求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：根据所给等式归纳可得，，故答案为：．
（2）解：
．
考点4.图形的规律（一次类）
例1．（2024·陕西西安·模拟预测）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（ ）
A．53 B．59 C．65 D．50
【答案】B
【详解】解：由已知图形可知，后一个小屋子所需的棋子的数量比前一个多6个；
∴第个图形需要：枚棋子，
∴摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为；故选B．
变式1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第6个图案由个小正方形组成，则的值为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【详解】解：第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，
第个图案由个小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，
第个图形由小正方形组成，第个图案由个小正方形组成，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）周末，赵宇在家用木棍摆六边形，如图，摆一个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，摆个六边形需要根木棍，按此规律摆个六边形需要的木棍根数为（ ）

A．根 B．根 C．根 D．根
【答案】C
【详解】解：摆一个六边形需要木棍（根），摆个六边形需要木棍（根），
摆个六边形需要木棍（根），，∴摆个六边形需要木棍（根），
∴当时，需要木棍（根），故选：．
变式3．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个 平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个 组成，第②个图案由7个 组成，第③个图案由10个 组成，…，按此规律排列下去，第个图案中的 个数为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵第1个图案由4个基础图形组成，
第2个图案由7个基础图形组成，即，
第3个图案由10个基础图形组成，，…，
∴第n个图案中基础图形的个数为：，故选：C．
考点5.图形的规律（二次类）
例1．（24-25七年级上·四川成都·期末）观察下面图中小圆圈的排列方式，可以推算出第9幅图中有 个小圆圈．
【答案】
【详解】解：第1个图中，有1个小圆圈，第2个图中，有个小圆圈，
第3个图中，有个小圆圈，第4个图中，有个小圆圈，……
第9个图中，有个小圆圈，故答案为：．
变式1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）2021年是农历我国“牛”年，为祝福我们伟大祖国更加繁荣昌盛，同时勉励新一届初三人在2021年更加“牛气冲天”，某同学制作了如下“牛气图”．请根据下图规律，计算第15个图案中一共有多少个“牛”字？（ ）
A．119 B．120 C．121 D．5050
【答案】B
【详解】解：由图可知，第①个图案中“牛”字的个数为（个 ），
第②个图案中“牛”字的个数为（个），
第③个图案中“牛”字的个数为（个），
第④个图案中“牛”字的个数为（个），
归纳类推得：第个图案中“牛”字的个数为个，其中为正整数，
则第15个图案中“牛”字的个数为，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形3中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，按此规律，图形⑥中共有（ ）个小三角形

A．27 B．32 C．21 D．36
【答案】B
【详解】解：设图形中星星的颗数是(为正整数)，
，
，
∴当时，，故选：B．
考点6.图形的规律（指数类）
例1．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意，故选：B．
例1．（23-24七年级上·江苏·期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第n次对折后得到的图形面积为，请根据图②化简， ．
【答案】
【详解】解：由题意可知，，，，…，，
所以，，故答案为：．
变式1．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算： ．
【答案】
【详解】解：∵，，，
∴可推导一般性规律为：，
∴，，，……
，，将等式左右同时相加得，，
∴，
解得，，故答案为：．
变式2．（2024·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：
图1 图2 图3 图4
○的个数 3 9 21 ______
▲的个数 1 4 10 ______
(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．
【答案】(1)45，22(2)图n中，○的个数，▲的个数．
【详解】（1）解：图1，○的个数，▲的个数，
图2，○的个数，▲的个数，
图3，○的个数，▲的个数，
图4，○的个数，▲的个数，故答案为：45，22；
（2）解：由（1）得到规律，图n，○的个数，▲的个数．
考点7.循环规律类问题
例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（ ）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
【答案】B
【详解】解：(年),，，
∴天干为己，地支为丑，∴1949年应为己丑年.故选: B．
变式1．（24-25七年级上·河北沧州·期末）探索规律：，，，，，…，那么的个位数字是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．0
【答案】B
【详解】解：∵，，，，，…，
∴从到，它们值的个位数字是按照“7、9、3、1”依次循环出现的，
∵，∴的个位数字是3，∴的个位数字是4.故选B
变式2．（24-25七年级上·北京西城·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．例如：3的“哈利数”是，的“哈利数“是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【详解】解：∵，∴，，，，
∴该组数是按照3，，，四个数字一循环，∵，∴；故选：C．
变式3．（24-25七年级上·河北沧州·期中）按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…，第10次得到的结果为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：当时，为偶数，则；当时，为奇数，则；
当时，为偶数，则；当时，为偶数，则；
当时，为奇数，则；当时，为偶数，则；
当时，为偶数，则；∴每3次一循环，
∴第10次得到的结果为1，故选：A．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级上·上海·期中）用棋子摆出下列一组图形，请观察图形，根据你发现的规律，则第2024个图形共有（ ）枚棋子
A．2024 B．6078 C．6075 D．6074
【答案】C
【详解】解：第1个图形有6枚棋子，第2个图形有枚棋子，第3个图形有枚棋子，……，
以此类推，可知，第n个图形有枚棋子，
∴第2024个图形共有枚棋子，故选：C．
2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）苯的同系物是化工生产中重要的原料，如图是一系列苯的同系物的结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子，图①有7个碳原子，8个氢原子；图②有8个碳原子，10个氢原子；图③有9个碳原子，12个氢原子……按照其结构规律，若某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】B
【详解】解：由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：；
第2种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：；
第3种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为，氢原子的个数为：；…，
所以第n种化合物的分子结构模型中碳原子的个数为个，氢原子的个数为个，
∵某种苯的同系物有18个碳原子，当时，（个），
即某种苯的同系物有18个碳原子，其氢原子数个数为30个．故选：B．
3．（2025·重庆·一模）如图是由大小相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的地砖图案，其中第①个图案有2个三角形，第②个图案有6个三角形，第③个图案有10个三角形，……，按照这一规律，第11个图案中三角形的个数是（ ）个
A．30 B．34 C．38 D．42
【答案】D
【详解】解：由图可知，第①个图案中三角形的个数为（个），
第②个图案中三角形的个数为（个），
第③个图案中三角形的个数为（个），
归纳类推得：第个图案中三角形的个数为个，其中为正整数，
则第11个图案中三角形的个数是（个），故选：D．
4．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（ ）

A．56 B．58 C．63 D．74
【答案】D
【详解】解：第一个图形的小圆数量；第二个图形的小圆数量；
第三个图形的小圆数量；第个图形的小圆数量个，
则第8个图形的小圆数量个故选：D．
5．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑧中的棋子颗数为（ ）
A．55 B．68 C．72 D．85
【答案】B
【详解】解：图①数量是，图②数量是，图③数量是，图④数量是， ，
图n中棋子的数量是，当时，，故选：B．
6．（2025·重庆·模拟预测）有机化学中的稠环芳香烃是由若干个苯环组合而成，如图是一组稠环芳香烃的结构简式，其中图①是由3个苯环组成，图②是由6个苯环组成，．．．，依此规律，图⑦中苯环的个数为（　　）
A．34个 B．35个 C．36个 D．37个
【答案】C
【详解】解：由图知，图①是由个苯环组成，图②是由个苯环组成，
图③是由个苯环组成，图④是由个苯环组成，，依此规律，
图中苯环的个数为，
图⑦中苯环的个数为个苯环组成，故选：C．
7．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（ ）
A．676 B．674 C．1348 D．1350
【答案】D
【详解】这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，即前2024个数共有674组，且余2个数，
∴奇数有个．故选：D
8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第n幅图中有平行四边形(　　)
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：第幅图中有个；第幅图中有(个)
第幅图中有(个)；可以发现，每个图形都比前一个图形多个平行四边形，
所以第幅图有个平行四边形．故选：B．
9．（2024·山东济宁·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原数据为：，□，，，，…
∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，∴□为故选：A．
10．（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数，故第n个多项式为，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为 。
【答案】143
【详解】解：，，，，，
第个圆中规律为：，
当时，，故答案：143．
12．（2024七年级·广东·专题练习）正奇数1，3，5，7，9，…，按如下规律排列，则第8排从左数第2个数是 。
【答案】59
【详解】解：由题知，第1行奇数个数为1，第2行奇数个数为2，第3行奇数个数为，
所以前行奇数的总个数为：．
当时，即前7排的奇数总个数为28，
又因为 即第7排从左往右最后一个数为55，
所以第8排从左数第2个数是59．故答案：59．
13．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是 。
【答案】243
【详解】解：由题意第一轮剩下：，，，，，，
第二轮剩下：，，，，∴经过n轮后（n为正整数），剩下同学的编号为；
∵，即，∴当圆圈只剩一个人时，，∴这个同学的编号为．故答案：243．
14．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：
第组：，；
第组：，，，；
第组：，，，，，；
第组：，，，，，，，；
现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ．
【答案】
【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个，
∴第组最后一个奇数为：，
∴当时，第组最后一个奇数为：，
当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，，
则表示的数是，故答案为：．
15．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个正方形……，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第100个正方形比第99个正方形多 个正方形．
【答案】201
【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形，
拼第2个正方形需个小正方形，拼第3个正方形需个小正方形，……
∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，
∴第100个正方形需个小正方形，第99个正方形需个小正方形，
∴第100个正方形比第99个正方形多，故答案为：201．
16．（2025·广西防城港·一模）按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为 ．
【答案】
【详解】解：，，，，，，
以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为，
∴第12个数为，第13个数为
∴第12个数和第13个数的和为，答案：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·江西吉安·期末）按如右图所示的规律摆放三角形
(1)第4个图形中三角形的个数为____________；第n个图形中三角形的个数为____________；
(2)求第2024个图形中三角形的个数．
【答案】(1)14；；(2)第2024个图形中三角形的个数为6074个．
【详解】（1）解：∵第1个图形的三角形个数为；
第2个图形的三角形的个数为；
第3个图形的三角形的个数为；
∴第4个图形的三角形的个数为；…；
∴第n个图形的三角形的个数为．故答案为：14；；
（2）解：当时，．
18．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）观察下列各式：
；
；
；
；…．
(1)根据规律计算的值为______；(2)计算的值．
【答案】(1)55 (2)
【详解】（1）解：∵；；；；
∴；故答案为：55；
（2）解：由（1）得，，
∴
．
19．（24-25七年级上·江西南昌·期中）观察下列式子：
第1个式子：．第2个式子：．
第3个式子：．第4个式子：．…
请你按照上述规律，回答下列问题：(1)写出第5个式子：______．
(2)写出第n个式子：______（用含n的式子表示）．(3)请你按照规律计算的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解；第5个式子：；
（2）解； 第1个式子：即．
第2个式子：即．
第3个式子：即．
第4个式子：即．
第5个等式是即，…
∴．故答案为：．
（3）解：．
20．（24-25·湖南张家界·统考三模）材料题：请仔细阅读以下信息，试着给出你的答案和解答过程这里有三组数：①，，，；②，，，，；③，，，
①②两组是由有限个数组成的，③是由无限个数组成的，它们的共同点：都是按一定次序排成的一列数，称之为数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项或首项，第项，第项，，第项，一般记成，，这三组数列都是从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数就叫公差，公差通常用字母表示．
(1)如数列①中数列②中那么数列③中 ______ ．
(2)又如，， ______ ；
(3)由此可得到 ______ ；(4)由（3）的结论你能否求得此等差数列，，，第项与第项．
【答案】(1)(2)(3)(4)第项为：，第项为：
【详解】（1）解：，，中的，故答案为：；
（2）解：，，
，故答案为：；
（3）解：由（2）得：，故答案为：；
（4）解：，，，第项为：，第项为：．
21．（24-25·江苏泰州·七年级校考期中）用同样大小的两种正方形纸片，按下图方式拼正方形．
(1)图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；
(2)以此类推，图n中（未画出）共有个小正方形；
(3)借助以上结论计算：．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）图3中共有个小正方形，图4中共有个小正方形，…，按图示方式继续拼下去，图10中（未画出）共有个小正方形；故答案为：；
（2）∵第2个图形比第1个图形多：个；第3个图形比第2个图形多：个；
第4个图形比第3个图形多：个；
∴第n个图形比第个图形多：个；第个图中有个小正方形，
此类推，图n中（未画出）共有个小正方形故答案为：；
（3）解：∵，∴
22．（2024·安徽宣城·七年级统考期末）如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：
(1)请写出第3个等式：__________；(2)猜想第n个等式为：__________（用含n的等式表示）；
(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？
【答案】(1)(2)(3)，共有1025156个小正方形
【详解】（1）解： ；
（2）解：；
（3）解：因为最底端有2024个小正方形，所以，解得：
所以（个）
答：，共有1025156个小正方形．
23．（2024·北京通州·七年级统考期末）现有一个长方形的宽为1，长为的纸片，先剪去一个正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推，如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应的值，请画出（与示意图不同）剪3次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应的值．
【答案】见解析
【详解】①如图，
；
②如图，
；
③如图，
；
④如图，
．
24．（2024·广东·七年级专题练习）阅读下列材料并完成
将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接对应的各分点，则图形中一共有多少个正方形？
问题探究：为了解决上面的问题，我们先研究特殊的情形，再逐次递进最后得出结论．
探究一：将一个边长为2的正方形四条边分别平分，连接各边对应的中点，则图形中一共有多少个正方形？
如图1，连接边长为2的正方形四条边的中点，边长为1的正方形有22＝4个；边长为2的正方形有12＝1个，总共有12+22＝1+4＝＝5个正方形．
探究二：将一个边长为3的正方形四条边分别三等分，连接各边对应的三等分点，则图形中一共有多少个正方形？
如图2，连接边长为3的正方形四条边对应的三等分点，边长为1的正方形有32＝9个；边长为2的正方形有22＝4个；边长为3的正方形有12＝1个，总共有12+22+32＝1+4+9＝＝14个正方形．
(1)探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正方形四条边四等分，连接各边对应的四等分点，则图形中一共有多少个正方形？（在图3中画出示意图，并写出探究过程）
(2)探究四：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中一共有　 　个正方形．
(3)问题解决：将边长为n（n≥2）的正方形四条边分别n等分，连接各边对应的n等分点，则图形中一共有　 　个正方形？(4)应用拓展：计算：1+3+8+24+…+899＝　 　．
【答案】(1)30个，图见解析(2)55(3)(4)9411
【详解】（1）解：画图如下：
由图可知，边长为1的正方形有个；边长为2的正方形有个；边长为3的正方形有个，边长为4的正方形有个，则总共有个正方形．
（2）解：将边长为5的正方形四条边五等分，连接各边对应的五等分点，则图形中正方形的个数为（个），故答案为：55．
（3）解：当时，图形中正方形的个数为，
当时，图形中正方形的个数为，
当时，，
归纳类推得：将边长为的正方形四条边分别等分，连接各边对应的等分点，图形中一共有正方形的个数为，故答案为：．
（4）解：原式
，故答案为：9411．
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