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第二十三章图形的相似培优试卷华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③
2．如图，D 、E 分别是的边上的点，且，相交于点 O ，若，则与的比是 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在边长为8 的等边三角形 中，D，E 分别为，的中点，于点F，G为的中点，连接，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．如图，中，点、分别是、上两点，且，若，，，则的长是( )
A．4 B．5 C． D．
5．如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点，以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，则点E的对应点的坐标是( )
A． B．或 C．或 D．
7．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，、分别为、边上的点，，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，若，则 ．
10．如图，在梯形中，，对角线和相交于点的面积为1平方厘米，则的面积为 平方厘米．
11．与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ．
12．如图，正方形中，点、分别在、边上，连接、交于点，，，，则 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13.如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣4，3），C（﹣3，1）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）△ABC内部有一点P（a，b），直接写出经过（1）中对称变换后P的对应点P1的坐标 　 　；
（3）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为3：1．
14．如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
15．如图，正方形中，E为边上一点，F是延长线上的一点，且，连接交于点G，交于点H．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
16．如图，点C是线段上一点，和是等边三角形．连接和，交于P点，和交于F点，和交于G点．
(1)求证：；
(2)求证：．
(3)若，求的值．
17．如图，在菱形中，，是对角线上的点，，连结，并延长交于点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)已知，求菱形的面积．
18．如图1，在中，．将绕点顺时针旋转得到，交于点，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若，，当时，求的长度；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，求证：．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．B
8．C
二、填空题
9．15
10．4
11．3
12．
三、解答题
13.答案略
14．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
15．【解】（1）在正方形中，
．
在和中，
，
∴，
（2）如图，过点F作与的延长线交于点K，
∴．
在正方形中，是对角线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
（3）由（1）知，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，由（2）知，
在等腰直角三角形中，，
在等腰直角中，，
∵，
即，
∴，
∴．
16．【解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于点，延长至，使得，连接，
∵和是等边三角形，，
∴，，
∴，，
∴，
由（1）已证：，
∴，
由（2）已证：，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
17．【解】（1）证明：如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴，，
又∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，
由（1）可得，
又∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故，
∵，
即，
∴，
故．
（3）解：过点作于点，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
由（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故．
设，则，
在中，，
在中，，
故，
解得；
∴，
故菱形的面积为．
18．【解】（1）证明：连接，
由旋转的性质知，，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，，
∴，
由旋转的性质知，，，
由（1）知，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
，
，即，
解得，故的长度为；
（3）F是线段的中点．理由如下，
连接，延长和交于点G，如图，
由（1）知，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
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