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第二十二章一元二次方程单元检测试题华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．将方程化为一般形式为 （　　）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根的情况是（　　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．若关于的一元二次方程有一个根为，则方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
4．方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ）
A．-2或3 B．3 C．-2 D．-3或2
5．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值是（ ）
A． B． C．-3 D．3
6．已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．关于的一元二次方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且
C．且 D．且
8．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知，则 ．
10．已知a是方程的一个实数根，则的值为 ．
11．若为方程的一根，为方程的一根，且都是正数，则 ．
12．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程：
(1) (2)
(3) (4)
14．某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，解答以下问题．
(1)当销售单价定价每千克35元时，销售量为______，月销售利润为______．
(2)商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
(3)设销售单价为元，月销售利润为元，请求出与的函数关系，并求出销售单价定为多少时利润最大，最大利润为多少？
15．已知：关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若，是原方程的两根，且，求m的值．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
18．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．

参考答案
一、选择题
1．A
2．A
3．C
4．C
5．D
6．A
7．C
8．A
二、填空题
9．8
10．
11．
12．6070
三、解答题
13．【解】（1）∵，
在这里，，
∴，
解得．
（2），
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴,
在这里，
∴，
解得，．
（4）∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
14．【解】（1）月销售量为（千克），销售利润为（元）；
故答案为：450千克，6750元；
（2）设应涨价元．则可列方程：
解得：或，
当时，销售单价为40元，销售成本为（元），舍去.
当时，销售单价为60元，销售成本为（元），符合题意，
答：月销售利润达到8000元，销售单价应为60元.
（3）月销售利润，
当时，，
答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元．
15．【解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：一元二次方程的解为，即，，
，
不可能是斜边长度，
当是斜边长度时，，解得，
当5是斜边长度时，，
解得或（舍弃负数值），
综合上述，的值为12或3．
16．【解】（1）证明：∵
∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
又∵
∴，
解得：，．
17．【解】（1），
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2），
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或．
18．【解】解：（1），
，
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
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