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第二十二章一元二次方程单元检测华东师大版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k+1=0， 若x1+x2=3，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
3．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）
A． B．
C． D．
4．一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0经过配方可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝10 B．（x+2）2＝10 C．（x﹣4）2＝6 D．（x﹣2）2＝2
5．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A． B． C． D．
6．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
7．若为方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B．12 C．14 D．15
8．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D． 且
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．设是关于x的方程的两个根，且，则 ．
10．若，是方程的两个实数根，则代数式 ;
11．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
12．已知（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝12，则a2+b2＝ ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
14．一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以40元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．
(1)若商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率．
15．关于x的一元二次方程有两个不等实根、．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实根、满足，求k的值．
16．已知关于的一元二次方程：．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长．
17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②．
(2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值．
(3)若关于x的方程（m，n是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
18．【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为、，则，．这就是一元二次方程根与系数的关系．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】
一元二次方程的两根为为、，则______，______；
(2)【类比运用】已知关于的一元二次方程．
①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为、，满足，求的值．
(3)【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．B
3．B
4．A
5．A
6．B
7．B
8．C
二、填空题
9．2
10．
11．
12．6
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
14．【解】（1）解：设售价应定为每个元，则
，
整理得： ，
解得：，；
∵更大优惠让利消费者，
∴不符合题意，
∴商场计划一周的利润达到元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元．
（2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个），
设这两周的平均增长率为，则
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴这两周的平均增长率为．
15．【解】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴>0，
解得：> ．
（2）由根与系数的关系，得， ．
∵，
∴，
解得：k=0或k=2，
又∵>，
∴k=2．
16．【解】（1）解：在关于的一元二次方程中，，，，
∴
，
∵
∴无论取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：∵等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，
①当时，即方程两根相等，
∴，
解得：，
∴方程可化为：，
解得：，
∴，
∴三边为长分别为，，，
∵，
∴不符合三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
②当或者时，即是原方程的一个根，
把代入得：，
解得：，
∴原方程可化为：，
解得：或，
即的两腰长为，底边长为，
∴的周长．
17．【解】（1）解：①解方程得：，，
，
不是“邻根方程”；
②解方程得：，，
，
是“邻根方程”；
（2）解：由方程得，
解得：，，
由于方程是“邻根方程”，
则或，
解得或；
（3）解：解方程得：，
关于的方程，是常数，是“邻根方程”，
，
整理得，
，
，
当时，有最大值．
18．【解】（1）解：
，，
，
故答案为：，；
（2）解：①∵
，
∵无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出，，
，
化简得
解得或．
（3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根，
，，
．
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