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人教版版2025—2026学年九年级上册数学九月份第一次月考调研训练卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值是（ ）
A．3或 B．或2 C．3 D．
4．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．方程的根是（ ）
A．， B．，
C． D．，
6．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
7．喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
9．已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
10．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
12．关于的方程（为实数）有实根，则取值范围是 ．
13．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
14．已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是 ．
15．抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是 ．
16．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．已知关于x的方程．
（1）证明：不论k为何值，方程总有实数根；
（2）当k为何整数时，方程有两个不相等的整数根
19．已知，是关于的一元二次方程的两实根，
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
20．方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
21．我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
22．如图，已知二次函数的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线，并写出当在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
23．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点．
(1)求抛物线表达式；
(2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标．
24．我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题：
(1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）；
①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（ ）
②当时，函数取最小值1；（ ）
③当或时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值；
(3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围．
25．已知关于x的一元二次方程（a、b、c为常数，且），我们规定：若该方程的两根满足，则称该方程为“灵粹二次方程”，其中，、称为该“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”．
(1)判断：下列方程中，为“灵粹二次方程”的是________（仅填序号）
① ② ③
(2)已知关于x的一元二次方程为“灵粹二次方程”，求：当时，函数的最大值．
(3)直线与直线相交于点A，并分别与x轴相交于B、C两点，若m、n是某“灵粹二次方程”的一对“奋勇向前根”，设D点坐标为（m，n），当点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部时．
①试求出m的取值范围．
②若m为整数，且“灵粹二次方程”的二次项系数为1，是否存在满足此情况的“灵粹二次方程”？若存在，请直接写出该“灵粹二次方程”；若不存在，请说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．C
4．D
5．A
6．D
7．D
8．B
9．A
10．C
二、填空题
11．
12．
13．
14．且
15．（-1，-3）
16．或
三、解答题
17．【解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
.
解得，．
18．【解】解：（1）当 时， 是关于的一元二次方程．
∵不论为何值时，，
∴方程总有实数根；
当时，是关于的一元一次方程．
∴
∴
∴方程有实数根
∴不论为何值时，方程总有实数根；
（2）
分解因式得
解得：
∵方程有两个不相等的整数根
∴为整数，且
所以
19．【解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根，
∴，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∴，
即，
解得：．
∵，
∴舍去，
∴的值为．
20．【解】（1）解：由题意得：，
即，
解得，
则m的取值范围为；
（2）由韦达定理可知：，，
若，
由可得，
即，
将，代入得：，
即，
解得，
由（1）可知，故符合题意，
因此，m的值为．
21．【解】（1）解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
22．【解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，-1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a=，b=-，c=-1，
∴二次函数的解析式为y=x2-x-1；
（2）当y=0时，得x2-x-1=0；
解得x1=2，x2=-1，
∴点D坐标为（-1，0）；
（3）图象如图，
23．【解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴，
∵抛物线过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：当，
解得：，，
∴，，
∵，
设直线的解析式为，
把代入，得，
∴直线表达式为，
设点的坐标为，，，
如图，当点在直线上方时，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∴；
如图，当点在直线下方时，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
经检验：是原方程的解，
∵，
∴，
∴；
综上可知：点的坐标为或．
24．【解】（1）二次函数，顶点为，
它的“W”函数图象的“平衡点”为．
当时，，解得，，
它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确；
由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误；
由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确；
故答案为：①√；②×；③√．
（2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为，
由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为，
，
当时，，
解方程得，，
，
由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分，
当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，，
即，解得，，
，
．
（3）当时，，
解得，，
如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况：
①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大，
则，
解得．
综上所述，实数h的取值范围为或．
25．【解】（1）解：，
∵，
∴此方程无解，不是“灵粹二次方程”；
，
解方程得：，，
∵，
∴此方程是“灵粹二次方程”；
，
解方程得：，
∵，
∴此方程不是“灵粹二次方程”；
综上分析可知，是“灵粹二次方程”的为②．
故答案为：②．
（2）解一元二次方程得：，，
∵是“灵粹二次方程”，
∴或，
解得：或，
当时，
函数
∴函数的对称轴为直线，
∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当或时，函数最大，此时最大值为：
；
当时，
函数
∴函数的对称轴为直线，
∵，，
∴当函数上的点距离对称轴越远的点，函数值越大，
∴当时，函数最大，此时最大值为：
；
综上分析可知，当时，；当时，．
（3）①联立，解得：，
∴点A的坐标为：，
把分别代入和得：和，
解得：和，
∴点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1,0），
直线AB的解析式为：，直线AC的解析式为
当时，
∵D点坐标为（m，n），
∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，
解得：；
当时，
∵D点坐标为（m，n），
∴点D在直线上，
∵点D位于以A、B、C三点所构成的三角形内部，
∴，
解得：；
综上分析可知，m的取值范围是：或；
②存在；
∵m为整数，
∴当时，，
∴此时，解得：，
“灵粹二次方程”的二次项系数a=1，
∴，
即，
，
∴，
∴该“灵粹二次方程”；
当时，没有符合条件的值，不存在“灵粹二次方程”；
综上分析可知，该“灵粹二次方程”为．

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