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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
全册综合检测试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）
1.（2025江西多校联考）下列直线中，倾斜角最小的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知直线 与圆 相交于 A, B 两点，则
A. 2 B. C. D. 3
3.（2025浙江金兰教育合作组织期中）如图，在正四棱柱中，，顶点在平面内，其余顶点均在的同侧，顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离为（ ）
A.3 B. C. D.4
4.(2024新课标II卷·5)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.(2024全国甲卷理·5)已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.
6.(2023全国乙理·13)已知点在抛物线上，则到的准线的距离为（ ）
A. B. C.4 D.5
7.(2025湖北十堰六校联考)给出下列说法：①若空间向量满足，则与的夹角为钝角；②对于空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则可以作为空间的另一个基底。其中正确说法的个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.(2023全国甲卷理·10)椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称。若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9.（2025福建泉州七中期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A.已知，，则在上的投影向量的坐标为
B.若向量，且与夹角的余弦值为，则或
C.已知三棱锥，点为平面内的一点，且，则
D.已知向量不共线，若，，，则可以构成空间的一个基底
10.(2025吉林通化段考)过点作圆的切线，则切线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
11.(2024新课标II,10)抛物线的准线为，为上动点。过作的一条切线，为切点；过作的垂线，垂足为。则（ ）
A. 与相切 B.当三点共线时，
C.当时， D.满足的点有且仅有2个
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.(2025广东部分学校联考)已知是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是______。
13.(2023上海卷·7)已知圆的面积为，则______。
14.(2023新课标I卷·16)已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______。
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.(13分)（2025东北育才学校期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是正方形的中心。
(1)证明：四点不共面；
(2)证明：平面平面。
16.(15分)(2025四川遂宁段考)圆内有一点，弦所在的直线过点且倾斜角为。
(1)当时，求弦的长；
(2)若弦被点平分，求弦所在的直线方程；
(3)若，求弦所在的直线方程。
17.(15分)(2024新课标I卷·16)已知和为椭圆上两点。
(1)求的离心率；
(2)若过的直线交于另一点，且的面积为9，求的方程。
18.(17分)（2025广东东莞七校联考）已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上。
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积；
(3)过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，求直线的方程。
19.(17分)(2025重庆开州中学月考)如图1，在边长为4的菱形中，，分别是边的中点，，。沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥。
(1)在翻折过程中，是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)当四棱锥的体积最大时，在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由。
一、单选题
1.答案：D
解析：倾斜角与斜率的关系为（），先计算各选项斜率，再比较倾斜角大小：
A：，斜率（倾斜角）；
B：，斜率（倾斜角）；
C：，斜率（倾斜角）；
D：，斜率（倾斜角）。
正斜率的倾斜角小于负斜率，且正斜率中，故D的倾斜角最小。
2.答案：B
解析：圆方程为 ，因此圆心为原点 ，半径 。
直线方程为 。
点到直线的距离公式为：，其中直线方程为 ，点 是圆心。
对于直线 ，有 , , ，圆心为 。
代入公式：
弦长公式为：，其中 是半径， 是圆心到直线的距离。
代入 和 ：
3.答案：B
解析：以为原点，为轴、为轴、为轴建立坐标系，设平面的法向量，方程为（在内）：
点到的距离，得；
点到的距离，得；
设，则，，点到的距离。
4.答案：A
解析：设，因是中点，故（为）。又在上，代入得，化简为。
5.答案：C
解析：双曲线焦点，故，焦点在轴，方程为：
点代入得；
由，解得，；
离心率。
6.答案：B
解析：因为点在抛物线上，将点的坐标代入抛物线方程可得。
即，解得。
对于抛物线，其准线方程为。
当时，准线方程为。
点到准线的距离等于点的横坐标与准线方程的横坐标之差的绝对值。
已知，准线方程，则。
综上，到的准线的距离为。
7.答案：B
解析：逐一分析说法：
①时，夹角可能为（非钝角），错误；
②四点共面需满足，题中无此条件，错误；
③仅说明，不能推出，错误；
④若是基底，则线性无关，可作为基底，正确。
正确个数为1。
8.答案：A
解析：椭圆左顶点，设，则：
斜率乘积；
由椭圆方程，代入得；
故，离心率。
二、多选题
9.答案：AC
解析：
A：，投影向量为，正确；
B：，解得，但符号矛盾，错误；
C：在平面内，故，得，正确；
D：，线性相关，不能作为基底，错误。
10.答案：AB
解析：圆的圆心，半径，点到的距离，存在两条切线：
选项A：，圆心到直线距离，是切线；
选项B：，圆心到直线距离，且点在直线上，是切线；
选项C：，圆心到直线距离，非切线；
选项D：，圆心到直线距离，非切线。
11.答案：ABD
解析：
A：准线，圆到的距离为1（等于半径），相切，正确；
B：时，，，正确；
C：时，，不垂直，错误；
D：即，联立得2个解，正确。
三、填空题
12.答案：
解析：设（），，：
点积；
最小值为（），最大值为0（）。
13.答案：
解析：圆，面积为则半径为1，故，解得。
14.答案：
解析：设，，由得，代入得；
又在双曲线上，，联立，解得。
四、解答题
15.(1) 证明：
以为原点建立坐标系，，，，。
向量，，，若共面则存在使，解得方程组无解，故不共面。
(2) 证明：
平面的法向量；
平面的法向量；
因，故平面平面。
16.解：
(1) 直线斜率为，方程，圆心到直线距离，弦长。
(2) 是中点，故，，，方程。
(3) 弦长则圆心到直线距离，设直线方程，解得，或直线，故方程为或。
17.解：
(1) 椭圆过得，过得，故，离心率。
(2) 设直线，联立椭圆得；
由面积得，解得或，方程为或。
18.解：
(1) 渐近线得，过得，故，方程。
(2) 设，，，余弦定理得，面积。
(3) 设直线，联立双曲线得；
弦长解得，方程为。
19.(1) 证明：翻折中，，故平面；又平面，故平面平面。
(2) 存在，Q为PA中点：
体积最大时平面，建立坐标系，设，平面与的法向量夹角余弦值为，解得，故为中点。

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