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北师大版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考调研训练卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来的四边形（ ）
A．是菱形 B．是矩形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
4．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2022年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2024年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
6．如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
7．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2023 C． D．2024
8．根据表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
1.1 1.2 1.3 1.4
0.76
A． B．
C． D．无法判定
9．已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．若一元二次方程配方后为，则 ．
13．如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °．

14．如图，中，平分，交于，交于，若，则四边形的周长是 ．
15．如图，直线过正方形的顶点，点到的距离分别是2和3，则正方形的边长是 ．

16．关于x的方程是一元二次方程，则 ．
第II卷
北师大版2025—2026学年九年级上册数学第一次月考调研训练卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1) (2)
18．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，共余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．
(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间再用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求的长；如果不能，请说明理由．
19．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
20．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
22．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，依题意，可列方程________；
(2)从7月份起，商场采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物付降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物每件售价为多少元时，月销售利润达8400元？
23．若关于x的一元二次方程有两个实数根，．
(1)求m的取值范围；
(2)若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值，
24．（1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
25．活动情境：某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.如图，将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与、交于点E、F），使点A落在边上的点P处，D点的对应点为点M，与交于点N处，连接与交于点H．所得结论：当点P恰为的中点时（如图1）：甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：
甲：四边形的面积；
乙：的边________ ；
丙：的周长为________ ；
你的任务：
(1)填充乙、丙两同学所得结果中的数据；
(2)请证明甲同学的结论；
(3)当点P在边上除点B、C外的任何一处（如图2）时：试问丙同学的结果是否发生变化？若变化，请写出正确的结论：若不变，请证明你的结论；
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．D
4．C
5．B
6．A
7．B
8．C
9．B
10．C
二、填空题
11．，
12．30
13．70
14．
15．
16．3
三、解答题
17．【解】（1）解：
∴
∴，，
解得：；
（2）
则，
，
，
即．
18．【解】（1）解：设米，则米，
∵墙可利用的最大长度为15米，
∴，
解得：．
∵围成的花圃面积为40平方米，
∴，
解得：（舍），
∴的长为10米．
（2）设米，则米，
由题意得：，
整理，得：，
∵，
∴原方程无解，
∴不能成功围成花圃．
19．【解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
20．【解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
21．【解】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：和是的两个根，
，，
是以为斜边的直角三角形，
，
，
，即，
解得：，（，不合题意，舍去），
的值为3．
22．【解】（1）解：根据题意得，
故答案为：
（2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
23．【解】（1）解：根据题意，得，
解得：；
（2）解：由根与系数的关系可知，，
∵，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，
∴，
整理，得，
∴，
又∵，且，
∴
24．【解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
25．【解】（1）解：由对称得：，
设，则，
∵点P恰为的中点，
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
由折叠得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由勾股定理得：，
∴的周长为；
故答案为：；
（2）解：连接，，
因为折叠，所以，
设，，
∵四边形是正方形，
∴，
因为，，且
所以，
解得
故，，
因为折叠，所以，
设，，
∵四边形是正方形，
∴，
因为，
所以，
解得
故，
那么四边形的面积；
（3）解：丙同学的结果不会发生变化，理由如下：
如图2，设的长为，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
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