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26.1锐角三角函数课后培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．在中，，，，则的值是（ ）
A．5 B．9 C．6 D．3
2．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点都在网格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在中，，是的中点，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形中，E是中点，于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①③④
8．如图，正方形的边长为2，E是边的中点，把沿折叠得到（点D的对应点为点F），则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
9．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ．
10．如图，在中，，，，于点，则的值为 ．
11．矩形中，，点是上一点，满足，则 ．
12．在中，，，则
三、解答题
13．如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，求的值．
14．如图，矩形中，，，，分别为，上两个动点，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，．
(1)如图，当点落在边上时，连接．
①求的值；
②若点为的中点，求的长．
(2)如图，若为的中点，，求的值．
15．已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．
(1)求的余弦值；
(2)求的值．
16．如图，在中，是边上的高线，的面积为6，．
(1)求的长；
(2)求的值．
17．已知中， ，D为角平分线 上一点，连接，其中．
(1)如图1，延长交于F点，若．
①当时，______ ；和的位置关系是_______；
②若，求的长度；
(2)如图2，若，且，求的值．
18．已知正方形，点为的中点．
(1)如图①，点为线段上的一点，且，延长，分别与，交于点，．
①求证：；
②若，求线段的长．
(2)如图②，在边上取一点，满足，连接交于点，连接并延长交于点，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．B
4．A
5．A
6．C
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．
11．或2
12．/
三、解答题
13．【解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
由（1）已证：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴在中，．
14【解】（1）解：①过点作，交于点，交于点，如图，
四边形为矩形，
∴，
，
四边形为平行四边形，
，
将矩形沿折叠，点，的对应点分别为，，
垂直平分，
，
．
，
．
，
∽，
，
；
②设，则．
点，关于对称，
垂直平分，
．
点为的中点，
，
，
．
在中，
，
，
解得：．
的长为；
（2）过点作于点，如图，
为的中点，
．
，
．
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，，．
．
．
．
，
，
，
，
，
，
．
15．【解】（1）解：∵，
∴，
在中， ，，
∴，
由勾股定理得：，
∵E是的中点，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴．
（2）解：如图所示，过点作，交于点，
，
，
，
，
，
，
．
16．【解】（1）解：是边上的高线，
，
，
，
，
，
，
的面积为6，，
∴
，
在中，，
∴
（2）在中，，
∴，
17．【解】（1）解：①，，
，，
，
在和中，
，
，
，
即平分，
又，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：，；
②如图，作于点H，
由①知平分，平分，
平分，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得
；
（2）解：如图，作于点F，
平分，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，，
，即，
．
18．【解】（1）①证明：四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：∵为的中点，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，即，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴线段的长为；
（2）解：设正方形的边长为，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
即，
如图所示：过点作交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，
∴的值为．
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