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3.1勾股定理的探究课后培优提升训练苏科版2025—2026学年八年级数学上册
一、选择题
1．一个直角三角形两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）．
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．斜边长上的高为 D．三角形的面积为20
2．以直角三角形三边为边做三个正方形的面积如图，正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，在中，．若，，则与之间的数量关系是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.3 C． D．
6．在中，，，，于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在直角三角形中，，则边上的中线的长为（　　）
A．12 B．13 C．15 D．
8．已知：中，，，的周长是（ ）
A．17 B．30 C．43 D．60
二、填空题
9．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．
10．如图，线段，O是的中点，直线 l 经过点O，，P 是直线l 上一点，则当为直角三角形时， 的长为 ．
11．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ．
12．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是 ．
三、解答题
13．如图，在四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
14．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
15．如图所示，平分，，，于，
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
16．如图，在中，于E,于D，与交于F，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
17．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求．
18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
(2)如图③，在中，是边上的高，，设，求x及的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．C
5．D
6．C
7．B
8．B
二、填空题
9．24
10．1或或
11．10或
12．10
三、解答题
13．【解】（1）解：，，
是等边三角形，
，
在中，，，
，
．
（2）解：过点作于点，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
，
而，
．
14．【解】（1）证明：∵，，
∴，
又 E 为的中点，
∴，，
∴，
即是等腰三角形．
（2）解：∵ ，E 为 的中点，
∴，
在 中，，，
由勾股定理，得 即 （负值已舍去）．
过点 E 作于点H．
由（1）得 ，
∴．
∵
∴
在 中，由勾股定理，得
即 （负值已舍去）．
∴ ．
15．【解】（1）证明：如图，过作交延长线于，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，由（）得，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
16．【解】（1）证明：于E，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由（1）知：
，
，
于E，
，
，
，
．
17．【解】（1）解：猜想：．理由如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴；
（2）连接，，如图：
∵正方形和正方形，
∴，，，
∴，即，
在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
由（1）可知，
∵，，
∴由勾股定理，得，，，
∴．
18．【解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即；
（2）解：在中，;
在中，，
所以，
解得，
∴，
∴．

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