资源简介

24.3一元二次方程根与系数的关系培优提升训练冀教版2025—2026学年九年级数学上册
一、选择题
1．若是一元二次方程的一个解，则该方程的另一个解（　　）
A． B． C． D．
2．关于x的一元二次方程的两个实数根、，已知，则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．方程的两实数根的和是，则k的值是（ ）
A．3 B． C．0 D．1
4．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，若，则（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
6．已知是方程的两个实数根，则的值是（　）
A． B．4 C． D．2
7．若方程的两根为，，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．7
8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（）
A．或1 B．1 C．3或 D．
二、填空题
9．已知，是方程的两个根，则代数式的值是 ．
10．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是、，满足，那么的值为 ．
11．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ．
12．已知关于x的一元二次方程的两根为3，，则关于x的一元二次方程的根为 ．
三、解答题
13．已知关于的一元二次方程．
(1)若，求k的值；
(2)求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
14．阅读材料，根据上述材料解决以下问题：
材料1：若一元二次方程的两个根为、，则，．
材料2：已知实数、满足，，且，求的值．
解：由题知、是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以．
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为、，则 ， ．
(2)已知实数、满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且．求的值．
15．（1）解方程：；
（2）已知是方程的两个根．
①若，求m的值；
②若，求m的值．
16．已知关于x的方程：．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设，是方程的两个根，且，求m的值．
17．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ．
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
18．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若，求的值；
(3)若方程有一个根不小于5，求的取值范围．
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．A
4．A
5．A
6．A
7．D
8．B
二、填空题
9．1
10．
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：由根与系数的关系得，
∵，
∴，
解得，即的值为
（2）证明：
，
∴无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根．
14．【解】（1）解：，；
故答案为：；；
（2）解：，，且，
、可看作方程，
，，
，
；
（3）解：将两边同时除以，
变形为，
∴实数和可看作方程的两根，
，，
．
15．【解】（1），
，
，
所以．
（2）①由题知，方程有两个相同的实数根，
所以，
解得；
②由根与系数的关系，，
，
，
即，
解得或，
当时，方程为，，符合题意；
当时，方程为，，不符合题意，
故．
16．【解】（1）证明：
，
因为，
所以，
所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：因为，是方程的两个根，
所以，，
又因为，
即，
所以，
解得或，
所以m的值为3或．
17．【解】（1）解：①当时，方程为，
则，
∴该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：；
②
由题意得，
解得，
则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：或3；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
其中完全平方数有、和，
当时，，
当时， （不合题意），
当时，，
当时，原方程为，
则，
当时，原方程为，
则，
综上所述：该方程的“关爱码”为或；
（3）解：方程的“关爱码”
方程的“关爱码，
由题意得：，
∴，
∴或，
∵m，n均为正整数，
∴不合题意，
∴．
18．【解】（1）证明：，，，
，
方程总有两个实数根．
（2）由是方程的根，
，
，
解得．
（3），
即，
，
方程有一个根不小于5，
，
．
的取值范围是．

展开更多......

收起↑