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九上第二十三章旋转能力提升卷（一）
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建议时长:90分钟
一、选择题
1.人工智能与5G时代已悄然来临，科技逐渐融入人类生活．下列设计的人工智能图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
2.如图，含30°角的两块直角三角板重叠摆放，嘉琪将其中一块绕点A顺时针旋转至△DAE处，若∠CAE＝90°，则旋转角的度数是(　　)
A. 30° B. 60° C. 90° D. 100°
3.已知点A(a－3，a－1)关于原点的对称点A′在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
4.如图，在8×8的正方形网格中，△ABC绕某点旋转一定的角度，得到△A′B′C′，则旋转中心是点(　　)
A.P B.Q C.M D.N
5.如图，已知四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称，下列结论错误的是(　　)
A. AD∥EH B. ∠ABC＝∠EHG C. ∠AOB＝∠EOF D. AO＝EO
6.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，若BC＝8，BD＝6，则△AED的周长是(　　)
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝ ，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C恰好落在直线m上时，得到△A′BC′，则△ABC旋转的最小度数为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE(其中点C恰好落在AB 上的点E 处，点B 落在点D 处)，连接CE，则△CBE的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平面直角坐标系中，A(0，5)，B(5，0)，C(0，1)，连接AB，点D为OB上一点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CD′，当点D的对应点D′恰好落在AB上，则点D′的坐标为(　　)
A．( ， )　　　　　 　 B．( ，4)
C．(1， )　 D．(1，4)
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，若BC＝3，∠A＝30°，则线段PM的最大值是(　　)
A. 6 B.
C. D. 4
二、填空题
11.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△DBE，且点D在CB的延长线上，则CD的长为________．
12.以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为(－2，1)，则C点坐标为________．
13.如图，风车绕其中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转角的度数至少为________．
14.如图，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形GBEF，若点E落在AD上，且AB＝AE＝1，则图中阴影部分的面积为 ．
15.如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝60°，∠DCE＝20°.△ABC不动，将△CDE绕点C顺时针旋转α度，当CA平分由边CB与△CDE的边组成的角时，α的值为 ．
三、解答题
16.如图，图①，图②都是由小等边三角形构成的网格，每个网格图中有4个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取相邻两个等边三角形涂上阴影：
(1)使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
(2)使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．(请将2个小题依次在图①，图②中作答，均只需画出符合条件的一种情形)
17.利用对称性可以设计出美丽的图案，如图所示，在边长为1的正方形网格中，按要求作图并解答．
(1)请你在图中作出该图形关于直线l成轴对称的图形，再作出所作的图形与原图形绕点O顺时针旋转90°后的图形；
(2)完成上述设计后，求出整个图形的面积．
18.如图，在△ABC中，点O是AC边上一点，且AC＝4AO，△DEF与△ABC关于点O中心对称，连接BF，CE.
(1)求证：CE＝BF；
(2)若S△ABC＝9，求四边形BCEF的面积．
19.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.
(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
20.如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC各顶点均在格点上，按要求完成下列各题：
(1)画出△ABC关于原点的中心对称图形△DEF；
(2)若∠BAC＝α，求在△DEF中，EF边上的高与ED的夹角的度数(用含有α的式子表示)．
21.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后(不超过一周)，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE.
(1)求旋转角的度数；
(2)判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
(3)若AD＝6，CD＝9，试求四边形ABCD的对角线BD的长．
22.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8.
(1)如图①，作等腰Rt△ADE，∠AED＝90°，AD、AE分别交BC于点F、G，若CG＝2 ，求FG的长；
(2)如图②，过BC的中点H作含30°角的Rt△HIJ，∠IHJ＝90°，∠I＝30°，HJ交AB于点M，HI交AC于点N，绕点H旋转Rt△HIJ，使点M、N始终在边AB、AC上．
①当AN＝3CN时，求四边形AMHN的周长；
②在旋转过程中，四边形AMHN的面积是否发生改变，若改变，求出它的取值范围；若不变，求出它的值．
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）九上第二十三章旋转能力提升卷（一）
详解详析
一、选择题
1.A
【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A 既是轴对称图形，又是中心对称图形 √
B 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ×
C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ×
D 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ×
2.A　
【解析】∵∠CAE＝90°，∠DAE＝60°，∴∠CAD＝90°－60°＝30°，∴旋转角的度数是30°.
3.D
【解析】∵点A(a－3，a－1)关于原点的对称点A′在第四象限，∴点A在第二象限，∴ ，解得1＜a＜3.
4.A
【解析】如解图，连接AA′，CC′，它们的垂直平分线相交于点P，故旋转中心是点P.
解图
5.B　
【解析】∵四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称，∴点A，B，C，D和点E，F，G，H对称，∴AD∥EH，∠ABC＝∠EFG，∠AOB＝∠EOF，AO＝EO，∴A，C，D正确，B错误．
6.B　
【解析】∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，CD＝AE，∴△DBE是等边三角形，∴BD＝DE＝6，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝8.∴△AED的周长＝AE＋AD＋DE＝CD＋AD＋DE＝AC＋DE＝8＋6＝14.
7.A
【解析】如解图，作旋转后的△A′BC′，∵∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝ ，∴BC＝ ＝2，由旋转的性质得，BC′＝BC＝2，∵m∥BC，∴∠BAC′＝90°，在Rt△ABC′中，AB＝ BC′，∴∠AC′B＝30°，又∵直线m∥BC，∴∠CBC′＝∠AC′B＝30°，即△ABC旋转的最小度数为30°.
解图
8.B
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝ ＝ ＝12.如解图，过点C作CF⊥AB于点F.∵S△ABC＝ AB·CF＝ AC·BC，∴CF＝ ＝ .由旋转的性质得，AE＝AC＝12，∴BE＝AB－AE＝13－12＝1，∴S△CBE＝ BE·CF＝ ×1× ＝ .
解图
9.D　
【解析】如解图，过点D′作D′E⊥OA于点E，∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CD′，∴CD＝CD′，∠DCD′＝90°，∴∠DCO＋∠D′CE＝90°，∵∠DCO＋∠ODC＝90°，∴∠ODC＝∠ECD′，∴△ODC≌△ECD′(AAS)，∴ED′＝OC＝1，∵A(0，5)，B(5，0)，∴OA＝OB＝5，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AE＝ED′＝1，∴OE＝OA－AE＝4，∴D′(1，4).
解图
10.C　
【解析】如解图，连接PC.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝3，∴AB＝6.根据旋转的性质可知，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，A′B′＝AB＝6，∵点M是BC的中点， 点P是A′B′的中点，∴CM＝BM＝ ，PC＝ A′B′＝3，∵在△PCM中，PM＜PC＋CM，∴当P，C，M三点共线，且P，M在点C两侧时，PM最大，则PM＝PC＋CM＝3＋ ＝ ，∴PM的最大值为 .
解图
二、填空题
11.10　
【解析】由旋转的性质得BD＝AB＝3，且点O在CB的延长线上∴CD＝BC＋BD＝7＋3＝10.
12.(2，－1)　
【解析】根据中心对称性质，点C与点A关于原点对称，故点C的坐标为(2，－1)．
13.90°
14. － 　
【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝AE＝1,∴BE＝ ＝ ＝ ，∴BC＝BE＝ ，∴S阴影＝S矩形BEFG－S△ABE＝ ×1－ ×1×1＝ － .
15.100°或120°　
【解析】如解图①，当α的值为100°时，CA平分∠BCD′；如解图②，当α的值为120°时，CA平分∠BCE′；∴α的值为100°或120°.
解图
三、解答题
16.解：(1)如解图①所示，阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
解图
(2)如解图②所示，阴影部分图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
解图
17.解：(1)作图如解图所示；
解图
(2)一个基础图形的面积为 ×2×2＝2，则整这个图形的面积为2×4＝8.
18.(1)证明：∵△DEF与△ABC关于点O中心对称，
∴AB＝DE，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF，
∴AF＝DC，∠CDE＝∠FAB，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△DEC(SAS)，
∴CE＝BF；
(2)解：∵点O是AC边上一点，且AC＝4AO，△DEF与△ABC关于点O中心对称，
∴AO＝DO＝ AC，CD＝AF＝ AC，
∴CF＝ AC，
∵S△ABC＝9，
设△ABC的边AC上的高为h，
∴S△ABC＝ AC·h＝9，
∴S四边形BCEF＝2S△CBF＝2× CF·h＝ AC·h＝27.
19.(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到的，
∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠DBA＝∠CBE＝30°，
∴∠DBE＝90°－30°－30°＝30°，
∴∠DBE＝∠CBE，
在△BDE和△BCE中，
∴△BDE≌△BCE(SAS)；
(2)解：四边形ABED为菱形，
理由如下：
由(1)得△BDE≌△BCE，则DE＝CE，
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴BA＝BE，AD＝EC＝ED，
又∵BE＝CE，
∴AB＝BE＝ED＝AD，
∴四边形ABED为菱形．
20.解：(1)如解图，△DEF即为所求；
(2)∵△DEF与△ABC关于点O中心对称，
∴∠EDF＝∠BAC＝α，∠DFE＝∠ACB＝45°，
∴∠FED＝180°－∠DFE－∠EDF＝135°－α，
如解图，过点D向FE的延长线作垂线交于点G，
∴∠G＝90°，
∵∠FED为△DEG的外角，
∴∠FED＝∠G＋∠EDG，
∴∠EDG＝135°－α－90°＝45°－α，
∴EF边上的高与ED的夹角的度数为45°－α.
解图
21.解：(1)∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE，
∴BC＝AC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∴旋转角的度数为90°；
(2)AE⊥BD，理由如下：
如解图①，设BD与AC，AE交点分别为M，N.
由(1)可知，∠BCM＝90°，
∴∠MBC＋∠BMC＝90°，
由旋转的性质得，∠DBC＝∠EAC，
又∵∠BMC＝∠AMN，
∴∠AMN＋∠NAM＝90°，
∴∠ANM＝90°，
∴AE⊥BD；
解图
(3)如解图②，连接DE，
由旋转的性质可知CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°，
∴∠EDC＝∠CED＝45°，
∴CD＝CE＝9，
在Rt△DCE中，DE＝ ＝ ＝9 ，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，
AE＝ ＝ ＝3 ，
∴BD＝AE＝3 .
解图
22.解：(1)如解图①，将△AGC绕点A顺时针旋转90°至△APB，连接PF，
∵∠FAG＝45°，
∴∠BAF＋∠CAG＝45°，由旋转的性质得∠CAG＝∠BAP，AG＝AP，∠GCA＝∠PBA＝45°，CG＝BP＝2 ，
∴∠BAF＋∠BAP＝∠PAF＝45°，
∴∠PAF＝∠GAF，
∴△PAF≌△GAF(SAS)，
∴FP＝FG，
又∵AB＝AC＝8，
∴BC＝8 ，
∴BG＝BC－CG＝8 －2 ＝6 ，
设FG＝x，则FP＝x，BF＝6 －x，
∵∠PBF＝∠ABP＋∠ABF＝90°，
∴在Rt△BPF中，
PF＝ ＝ ＝x，解得x＝ ，
∴FG＝ ；
解图
(2)①如解图②，连接AH，过点H作HO⊥AC于点O，
由题意得AH＝BH＝CH，∠ABH＝∠C＝45°，∠AHC＝90°，
∴∠ABH＝∠BAH，
∴∠BAH＝∠C＝45°，
∵∠CHN＝∠AHC－∠AHN＝∠MHN－∠AHN＝∠AHM，
∴△CHN≌△AHM(ASA)，
∴CN＝AM，HN＝HM，
∵AC＝8，AN＝3CN，
∴CN＝AM＝2，AN＝6，
∵HO⊥AC，△AHC为等腰直角三角形，
∴AO＝HO＝ AC＝4，ON＝AN－AO＝2，
在Rt△HON中，HN＝ ＝ ＝2 ，
∴HN＝HM＝2 ，
∴四边形AMHN的周长为HM＋HN＋AN＋AM＝2 ＋2 ＋6＋2＝8＋4 ；
解图
②不发生改变，由①可知，△CHN≌△AHM，
∴S△CHN＝S△AHM，
∴S四边形AMHN＝S△AMH＋S△AHN＝S△CNH＋S△AHN＝S△ACH＝ AC·HO＝ ×8×4＝16，
∴在旋转过程中，四边形AMHN的面积不变，面积为16.
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