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第十四章 全等三角形--全等三角形常见辅助线添加方法 重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、必备辅助线添法一 倍长中线法
1．在中，，则的中线取值范围是 ．
2．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是
3．方法探索
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：
如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分．
4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围；
（2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明．
5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考：
(1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；
(2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明；
(3)如图3，在中，是的三等分点．求证：．
二、必备辅助线添法二 截长补短法
6．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：．
(1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等）
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长．
7．综合与探究
[问题情境]
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且．
求证：
小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质，
所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出，
小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程．
[实践探究]
（2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于．
①求证：；
②求证：．
8．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法．
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；
补短法：延长较短线段和较长线段相等．
这两种方法统称截长补短法．
请用这两种方法分别解决下列问题：
已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC
9．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．
【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N．
(1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；
(2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明）
(3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论．
10．现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．
三、必备辅助线添法三 旋转法
11．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．
（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．
12．如图，在和中，，，，．

(1)如图1，当点D在上时，，，则______；
(2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且；
(3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值．
13．如图，在等腰中，，，直线经过点C，且点A，B在直线的同侧，过点A作于D．

(1)求证：；
(2)点E在的延长线上，将线段绕点C逆时旋转得到线段，连接交直线于H．
①依题意补全图形；
②由作图过程猜想线段与的数量关系（不要求证明）．
14．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
当绕B点旋转到时，如图（1），易证：．
当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
15．在四边形中，，现将一个角的顶点落在点A处．
(1)如图①，当该角的两边分别与边相交于E、F时．求证：；
(2)现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索）
四、必备辅助线添法四 作平行线法
16．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由；
17．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长．
18．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．

(1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）；
(2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想．
19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
20． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
答案
题型一、必备辅助线添法一 倍长中线法
解：如图，延长到F，使，连接，
则；
∵为的中线，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，由三角形三边不等关系得，
即，
∴，
∴．
故答案为：．
解：如图，延长到，使得，连接，．
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
3．方法探索
（1）解：是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，
即，
中线的取值范围是：；
（2）证明：延长到点M，使，连接．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即平分．
解：（1）如图①，延长到点E，使，连接，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
延长至点M，使，连接，如图②所示．
同（1）得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：
，
∴；
（3），理由如下：
如图③，延长交于点G，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴
∴，
∴，
∵，
∴ ．
（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
故答案为：．
（2），理由：
如图2，延长到，使得，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
又∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和，
∵为中点，为三等分点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理可得：，
∴，
此时，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
题型二、必备辅助线添法二 截长补短法
6． （1）证明：在上截取，使得，连接，
平分，
∴，
，
∴，
，，
∵，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在上截取，连接，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为14．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点，
∵平分，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
，
∴；
小丽∶延长至，使，连接，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）①∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过作交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴．
解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，
在△APN和△APC中
∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP，
∴△APN≌△APC，
∴PC=PN，
∵△BPN中有PB－PN＜BN，
即PB－PC＜AB－AC；
补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，
在△ABP和△AMP中，
∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP，
∴△ABP≌△AMP，
∴PB=PM，
又∵在△PCM中有CM＞PM－PC，
即AB－AC＞PB－PC．
（1）证明：根据题意得：AD=BD，
延长到E，使，连接
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
在和中
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°，
证明方法同（1）类似，
∴；
（3），
证明：在截取，连接，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
∵
∴
即
∴
即，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵是角平分线，
∴
在和中
∴
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）如图2，延长到，使，连接，
∵是的角平分线，
∴
在和中
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
三、必备辅助线添法三 旋转法
11．（1）如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
（2）图2成立，图3不成立．
证明：如图2，延长到K使，连接，
∵，，，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
如图3，如图，延长到Q使，连接，
∵，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∴．
12．（1）解：如图所示，

∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：证明：如图所示，延长交于T，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（2）可得，
∴
第一次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，

∴，
即，
解得；
第一次垂直时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，

由图可得：
∴，
即，
解得；
第二次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，

由图可得：，
即，
解得：，
第三次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，

由图可得：
，
即，
解得：；
第四次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，

由图可得：，，
∴，
即
解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，满足条件的t的值为或或或．
（1）证明：∵是平角，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①补全图形如图所示：

②；
证明：过点B作于S，在上截取，连接，

∵，，
∴，
由（1）知，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
在和中，，
∴，
∴．
解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下：
证明图（2）．理由如下：
延长至点K，使，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图（3），延长至G，使，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的关系是．
（1）如图①，
延长到H点，使，连接，
∵
∴
∵
∴
∵
∴在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴即
在和中，
，
∴
∴
∵
∴；
（2）（1）中的结论不成立，
如图②，在上截取，
在与中，
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
在与中，
，
∴
∴
∵
∴
四、必备辅助线添法四 作平行线法
16． （1）证明：过点作交于，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，
连结，
于，
，，
，
又，，
，，
，，
由（1）知，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
为等边三角形；
（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，

在和中，
∴，
∴，
又∵，，平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
（3）过点C作交于P，作交延长线于G，

∴，，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
同理可得：，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴
（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵E为的中点，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
（2）解：．理由如下：
过E作交于F，

∵是等边三角形，
∴，．
∴，，即．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴，即．
解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在△PDF和△QDC中，，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．

3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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