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建平中学2025-2026学年第一学期高三年级数学周练1
2025.9
一、填空题
1．已知全集，则 .
2．若，则 .
3．设i为虚数单位，若，则 .
4．已知等比数列的首项与公比相等，若，则 .
5．函数在处的切线斜率为 .
6．设实数，圆的面积为，则 .
7．某工作室加工50000个零件．若这批零件分配到1号车间25000个，2号车间20000个，3号车间5000个，其中1号车间、2号车间、3号车间加工合格率分别为、0.75，从所有加工后的零件中任取1个零件，则这个零件合格的概率为 .
8．在的展开式中，二项式系数最大的有且仅有第4项，则正整数 .
9．在的展开式中，直线过中的两个不同点．当与直线所成角为最小值时，则满足条件的的条数为 .
10．设且．若对任意均成立，则当时，的取值范围为 .
11．如图，是某中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用 水泥平方米
（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）
12．已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 .
二、单选题
13．设，则下列选项中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
14．有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件＂第一次取出的卡片上的数字为2＂，表示事件＂第一次取出的卡片上的数字为奇数＂，表示事件＂两次取出的卡片上的数字之和为6＂，表示事件＂两次取出的卡片上的数字之和为，则（ ）.
A．与为对立事件 B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件
15．设．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）.
A． B． C． D．
16．在平面直角坐标系中，记，设点，点，给出如下结论：（1）任意，存在，对任意正整数为大于零的常数．（2）任意，存在，对任意正整数为大于零的常数．下列选项中，判断正确的是（ ）.
A．命题（1）成立，命题（2）成立 B．命题（1）成立，命题（2）不成立
C．命题（1）不成立，命题（2）成立 D．命题（1）不成立，命题（2）不成立
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，是棱的中点，平面．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的大小．
18．设．己知函数的定义域为，且．
（1）若函数是偶函数，求的值；
（2）设，若对任意的，均有，求的取值范围．
19．某中学举行了一次＂数学文化知识竞赛＂，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计。将成绩进行整理后，分为五组，，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积．请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题．
（1）若根据这次成绩，学校准备淘汰的同学，仅保留的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（四舍五入精确到1分）
（2）从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名同学的分数：，化知这10个分数的平均数、方差，若剔除其中的最高分98和最低分86，求剩余8个分数的平均数与方差．
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设．若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
21．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义.
（1）设，求；
（2）设，若函数在处的切线经过，求的值并求出集合；
（3）若且，求．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.2
11．如图，是某中学校园内的一方矩形花圃，其四边均镶嵌一汪以各边中点为圆心的喷泉池；早先花圃的对角已建有一径水泥步道．已知花圃长、宽分别为50米、30米，喷泉池的直径均为15米，步道边缘各与两汪喷泉池边缘相切．今欲在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道，则最少需使用 水泥平方米
（精确至0.01，不考虑步道厚度及材料耗损）
【答案】
【解析】如图以矩形的中心为原点建立平面直角坐标系，记边上的圆心分别为，
则直线的斜率为，根据圆与圆的半径相等，
可知，设直线的方程为，即，
根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，
根据图中位置可得，则直线的方程为，
它与坐标轴的交点为，
根据图形的中心对称性，可知直线的方程为,
它与坐标轴的交点为，（,
所以中间重合部分的面积为：，
对于直线的方程为，令，可得，
令，可得,可得，
即
所以
根据对称性可知，
所以六边形的面积为：
在花圃的对角仿照现存步道铺设另一水泥步道的面积为：故答案为：429.82．
二、选择题
13.B 14.B 15.D 16.B
15．设．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，
因为在区间和上单调递增，在上单调递减，
而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，所以只需要在区间，［是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足时取值，故
根据余弦函数的单调性，若满足，解得，
若满足，解得，若满足,无解，
故必满足题意，而，则ABC错误；故选：D．
三、解答题
17.（1）证明略 （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2） （3）
20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，是第一象限上一点，直线与轴交于点，设点的坐标为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设．若点在直线上，且与的面积相等，求到直线的距离；
（3）设直线与的另一个交点为．若使得的直线恰有2条，求的取值范围．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）因为椭圆，所以，可得，
则椭圆的离心率；
（2）因为与面积相等，所以与面积相等，
即，由比例可知是的中点，
因为椭圆的右焦点，所以在椭圆上，解得，
则直线的方程为，又，则到直线的距离为；
（3）设直线的方程为，
因为点在第一象限，所以，
联立，消去并整理得，
与韦达定理得，
取的中点，此时，需满足，
因为，所以，
设，此时函数在上有两个不相等的零点，
需满足解得．则的取值范围为．
21．对于定义域为的函数，存在导函数．设，定义.
（1）设，求；
（2）设，若函数在处的切线经过，求的值并求出集合；
（3）若且，求．
【答案】（1） （2）， （3）
【解析】（1）对求导有，所以，
因此，
求解不等式有，由于该式对于任意均成立，所以；
（2）对求导有，
则在处的切线方程为
代入可得或，由于，所以，
因此
求解不等式可得；
（3）先证明：
设，
则，
所以在上的最大值为，进而，
因此．
再证明：
根据和，分别推出和，
由不等式性质可得，，即．
由于在和处的切线为
和
所以在和处的切线重合．
因此，．

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