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第七章 证明 复习课
复习目标
1.明白证明的必要性,知道用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有依据.
2.能说出定义、命题、定理、公理的含义,会区分命题的条件和结论,会通过反例判定一个命题是假命题.
3.会应用数学语言表示平行线的判定及性质,知道三角形内角和定理及其推论,会灵活应用它们解决实际问题.
重点
平行线的性质定理和判定定理的应用.
【体系构建】
【专题复习】
专题一：定义与命题
例1　下列四个选项中,不是命题的是 (　　)
A.对顶角相等
B.作一个角等于已知角
C.三角形任意两边之差小于第三边
D.如果a=b,a=c,那么b=c
变式训练
1.下列命题是真命题的是 (　　)
A.两直线被第三条直线所截,内错角相等
B.若ab>0,则a>0,b>0
C.同旁内角互补
D.若a∥b,c⊥a,则c⊥b
2.可以用来说明“a2A.a=4,b=3　　　　 B.a=-1,b=2
C.a=2,b=-3　　　　 D.a=-2,b=1
专题二：平行线的性质与判定的综合应用
例2　如图,已知AB∥CD,甲、乙两人分别沿着BC与AB,CD 的夹角的平分线运动,小明认为甲、乙两人运动的路线BE,CF平行.你认为他的说法正确吗 请说明理由.
变式训练
1.(新素材·生活化建模)如图,这是路政工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=35°,∠3=155°,则∠2的度数为(　　)
A.50°　　　　B.60°　　　　C.65°　　　　D.55°
2.如图,已知∠1=∠2,AD∥EF,∠D=120°,CA平分∠DCB交EF于点G,有下列结论:①∠DCB=60°;②∠1=∠ACD;③∠AGF=∠D;④与∠1相等的角有2个.其中正确的有 (　　)
A.4个　　　　B.3个
C.2个　　　　D.1个
3.如图,AD∥CB,∠ABC=∠ADC,E,F分别是AB,CD上的点,连接BF,DE.
(1)求证:∠ABF=∠BFC.
(2)若BF和DE分别平分∠ABC和∠ADC,求证:DE∥BF.
专题三：平行线的综合创新问题
例3　(知识整合·综合实践性问题)【实验操作】八年级同学在参加“探寻古城墙、研读长安城”研学时,小明发现城墙某段道路(AB∥CD)两旁安置了两盏可旋转探照灯,课后利用所学知识进行了综合实践学习.经观察,灯E射线从EB开始顺时针旋转至EA便立即回转,灯F射线从FC开始顺时针旋转至FD便立即回转,两灯不停旋转照射,当两条光束相交时,记交点为G.
【猜想验证】(1)如图,转至某刻,∠G=60°,∠AEG=25°,则∠CFG为多少度 请说明理由.
【应用迁移】(2)灯E、灯F转动的速度分别是每秒2°、每秒4°.若两灯同时开始转动,则在灯E射线第一次到达EA之前,灯F转动几秒时,∠EGF=90° 请画图分析并计算.
变式训练
1.(新素材·传统文化)一杆古秤的状态如图所示,此时AB∥CD,∠1=75°,则∠2的度数为 (　　)
A.75°　　　　B.95°　　　　C.105°　　　　D.115°
2.如图,这是一汽车探照灯的纵剖面示意图,从位于O点的灯泡发出的两束光线OB,OC经过灯碗反射以后平行射出,若∠ABO=α,∠DCO=β,则∠BOC的度数是 (　　)
A.α+β　　　　 B.180°-α
C.(α+β)　　　　 D.90°+(α+β)
参考答案
专题复习
专题一
例1　B
变式训练　1.D　2.C
专题二
例2　解:正确.
理由:∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB.
又∵BE,CF分别平分∠ABC和∠DCB,
∴∠EBC=∠ABC,∠FCB=∠DCB,
∴∠EBC=∠FCB,∴BE∥CF.
变式训练　1.B　2.C
3.证明:(1)因为AD∥BC,
所以∠A+∠ABC=180°.
因为∠ABC=∠ADC,
所以∠A+∠ADC=180°,
所以AB∥CD,
所以∠ABF=∠BFC.
(2)因为DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,
所以∠CDE=∠ADC,∠ABF=∠ABC.
因为∠ABC=∠ADC,
所以∠CDE=∠ABF.
因为∠ABF=∠BFC,
所以∠CDE=∠BFC,
所以DE∥BF.
专题三
例3　解:(1)∠CFG=35°.
理由:如图1,过点G作GH∥AB,
因为AB∥CD,GH∥AB,
所以GH∥CD,
所以∠AEG=∠EGH,∠CFG=∠FGH.
因为∠EGH+∠FGH=∠EGF,
所以∠AEG+∠CFG=∠EGF.
因为∠EGF=60°,∠AEG=25°,
所以∠CFG=60°-25°=35°.
(2)设灯F转动t秒时,∠EGF=90°,
因为灯E转动的速度是每秒2°,
所以∠BEG=(2t)°,
所以∠AEG=(180-2t)°.
因为当灯E射线第一次到达EA时,t=180÷2=90,
所以0≤t≤90.
①如图2,当点G在EF右边时,
因为灯F转动的速度是每秒4°,
所以∠CFG=(4t)°,∠DFG=(180-4t)°,
所以∠EGF=∠BEG+∠DFG=90°,
所以2t+180-4t=90,
解得t=45,符合题意,
所以灯F转动45秒时,∠EGF=90°.
②如图3,当点G在EF左边时,
即当灯F射线旋转180°后返回时,
则∠CFG=(360-4t)°,∠AEG=(180-2t)°,
根据题意得360-4t+180-2t=90,
所以-6t=90-360-180,
所以t=75.
综上所述,灯F转动45秒或75秒时,∠EGF=90°.
变式训练　1.C　2.A

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