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南阳一中高二年级2025年秋期第一次月考
数学学科答案
一、单选题(每小题5分，共40分）
1．B 2.D 3．C
4．B
【详解】因为两点横坐标不同，故倾斜角不为，
由题意得，
因为，所以.
故选：B
5．B
6.C
依题意，由椭圆定义得，即，
令椭圆：的半焦距为c，则F2(c，0)，直线AB：x=c，
由得，于是得，则，
所以椭圆的方程为.
故选：C
7．D，应为
8．A【详解】若的欧拉线方程为，设点，则的重心为，显然点在直线上，于是得，
直线的斜率为2，线段的中点，则线段的中垂线方程为，即，
由得的外心，即有，因此，
解得或，于是得点C的坐标为或；
当C的坐标为时，的重心为，外心为，因此的欧拉线方程为，
所以“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件.
故选：A
9．ACD
10．AD
【详解】对于A项，由题意可得，所以，从而点在圆的外部，故A项正确；
对于B项，直线恒过定点，，
点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错；
对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交，
，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误；
对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上，
又，故切线的斜率为，
所以切线方程为，即，故D项正确.
故选：AD.
11．ACD
【详解】圆的圆心为半径故正确；
由题知
当时,取得最小值为故错误；
根据向量投影的几何意义,知在方向上的投影的取值范围为故正确；
若,且,则三点共线.
直线的方程为圆心到直线的距离为
所以直线与圆相交,故存在两个不同的点,使,故正确.
故选：.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．
13．或
14．6
【详解】变形为，
令，解得，
故恒过点，
设点，则⊥，
即，
整理得，
所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又，即在圆外，
则的最大值为.
故答案为：6
四、解答题（共77分）
15．（13分）
(1)
(2)或.
（1）解：设圆心为，
依题意有，解得或（舍去），
，则，
故圆的标准方程为
（2）若斜率不存在，则，代入圆方程得，
解得或，，符合题意；
若斜率存在，设斜率为，则直线，即，
由圆心到直线的距离为，
即，所以，，即
综上，所求直线的方程为或.
16．（15分）
(1)解：因为，而直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即直线的方程为：，即，
所以点在直线与边上的中线的交点，，解得，，
所以顶点的坐标，而为线段的中点，所以，即的坐标；
(2)解：当直线经过原点时，设直线的方程为，将的坐标代入可得，解得，这时直线的方程为；当直线不过原点时，设直线的方程为，
将代入可得，解得，这时直线的方程为，
综上所述：直线的方程为或.
17．（15分）(1)
(2)
【详解】（1）直线的斜率，
因为，所以直线的斜率存在，设为，且.
即，所以，解得.
将代入直线得，即，
所以与之间的距离为.
（2）若，则，
由可知，点是线段的中点，
设，所以点关于的对称点，
因为点在直线上，
把点代入方程，即，
解得，
所以，
可得直线斜率，所以直线的方程为，即，
所以直线的方程为.
18．（17分）(1)；
(2)；
(3)，，.
【详解】（1）圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为4，
由圆与圆有两个不同的交点，得，而，
因此，解得，
所以的取值范围是.
（2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程，
点到直线的距离，
所以.
（3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线，
显然切线的斜率存在，设方程为，则，
整理得或，解，得
解，得或，
因此内公切线的方程为，即；
外公切线的方程为，的方程为，即，
所以圆与圆的公切线方程为，，.
19.（17分）
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）原方程可整理为.
则，解得.
（2）设圆心坐标为，则，由得.
消去t可得，此即为圆心的轨迹方程，
（3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大，
则，.
所以当时，的最大值为，此时圆的方程为.
试卷第1页，共3页南阳一中高二年级2025年秋期第一次月考
数学学科试题
一、单选题(每小题5分，共40分）
1．（教材p13）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（）
A、 B、
C、 D、
2.（教材P35改编）已知直线，圆C：，当直线与圆C有交点时，b的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3．（教材P19改编）已知两条不重合直线和，若，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4．直线l经过，两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．20
6.已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（教材P27改编）若点A，点B为曲线C：上一点，则直线AB的倾斜角取值范围是（）
A、 B、
C、 D、以上三项都不对
8．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（教材P27）（多选）已知三条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，且，则倾斜角的大小关系可能是
A、 B、
C、 D、
10．下列结论正确的是（ ）
A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部
B．直线被圆所截得的最长弦长为
C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有
D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为
11．已知圆与轴交于（原点）,两点,点是圆上的动点,,则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为1
C．
D．令,则存在两个不同的点,使
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．则实数k的取值范围为
13．（教材P23改编）已知是直线上的两点，若，且，则直线的一般式方程为
14．已知点到动直线的投影点为Q，若点，则的最大值是 ．
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知圆过点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程.
16．（15分）已知 的顶点，边上的高所在直线为：，边上的中线所在直线为：，为的中点.
(1)求点的坐标；
(2)求过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程.
17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，已知直线和.
(1)若，求的值及与之间的距离；
(2)若，过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程.
18．（17分）已知圆与圆
(1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围;
(2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长;
(3)若r=1，求圆与圆的公切线方程.
19.（17分）已知方程：（）表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求圆心的轨迹方程；
(3)求其中面积最大的圆的方程.
试卷第1页，共3页

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