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第四章 基本平面图形
课时3 尺规作角
4.2 角
1.能用尺规作一个角等于已知角,并了解它在尺规作图中的简单应用;
2.能用尺规作角来比较角的大小.
这个角的大小由什么决定？
我们已经知道可以通过移动其中一个角的方法比较两个角的大小.如何移动一个角呢 比如，如何将图(1)中的∠AOB移动到图 (2)的位置，使 OA 与 O'A'重合
B
A
O
A′
O′
作法：①先用量角器量出∠AOB的度数；
②用量角器作出另一条射线 O'B'，使 A'O'B'等于∠AOB.
B'
由另一条边的位置决定.
请你用三角尺、量角器、圆规等工具解决上述问题.
（1）
（2）
探究一：用尺规作角
如果只用尺规，如何解决上述问题 请你试一试，并与同伴进行交流.
只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图.
注意:尺规作图的工具只能是直尺和圆规,其中直尺用来作直线、线段、射线或延长线段等；圆规用来作圆或圆孤,或截取一条线段等于已知线段．
操作·交流
O
B
A
利用尺规，作一个角等于已知角．
例：如图，已知：∠AOB，用尺规作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB．
作法：(1)作射线O′A′;
(2)以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D;
C
D
O'
A'
(3)以点O′为圆心，以OC为半径作弧，交O′A′于点C′;
O
B
A
C
D
O'
A'
C'
(4) 以点C′ 为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′ ；
O
B
A
C
D
O'
A'
C'
D'
(5) 过点D′ 作射线O′ B′ .
O
B
A
C
D
O'
A'
C'
D'
B'
结论：如图∠A′ O′ B′ 就是所求作的角.
作一个角等于已知角：
O
B
A
C'
先画一条射线，再作三次弧.其中前两次弧半径相同，而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离为半径.
作一个角等于已知角可以归纳为“两线三弧”.
C
D
O'
A'
D'
B'
归纳总结
1.如图所示,已知∠AOB.求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.作法如下:
(1)以点　　　　为圆心,　　　　为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;
(2)画一条射线O'A',以点　　为圆心, 　 　长为半径画弧,交O'A'于点C'；
(3)以点　　　　为圆心,　　　　长为半径画
弧,与第(2)步中所画的弧交于点D';
(4)过点　　画射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB.
O
任意长
O'
OC(或OD)
C'
CD
D'
探究二：利用尺规作图比较角的大小
O'
E
F
O
A
B
如图，已知∠AOB，∠EO'F，利用尺规作图比较它们的大小，你是怎样做的？
(B')
A'
如上图，以O'F为角的一边，作∠A'O'F=∠AOB，
因为O'A'在∠EO'F的外部，则∠A'O'F＞∠EO'F，
即∠AOB＞∠EO'F.
操作·思考
利用尺规作图比较角的大小：
用尺规作图将一个角移动到另一个角上，使其顶点和一边重合，另一边都落在同侧，根据另一边的位置判断角的大小.
归纳总结
2.如图1，已知∠1，∠2，用尺规作图比较它们的大小，如图2，作∠AOB=∠1，∠BOC=∠2，则∠1和∠2的大小关系为 ( )
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定
A
探究三：尺规作角的应用
B
O
A
做一做：已知∠AOB，利用尺规作∠A'O'B'，使 ∠A'O'B' =2∠AOB．
问题：用尺规作一个角等于已知角是尺规作图中的基本作图，你能利用它作出其他图形吗？
可以作角的和、差、倍角等.
B'
O'
A'
结论：如图∠A'O'B'即为所求作的角.
尺规作倍角
用尺规作已知角的和、差、倍
利用尺规作已知角的和、差、倍时，都是先作一个角等于已知角，再在这个角的基础上作其他角，区别就是“和”与“整数倍”是在角的外部作角，“差”是在角的内部作角.
归纳总结
例1：下列尺规作图的语句错误的是( )
A.作∠AOB，使∠AOB=3∠α
B.以点O为圆心作弧
C.以点A为圆心，线段a的长为半径作弧
D.作∠ABC，使∠ABC=∠α+∠β
B
解析：作弧必须有圆心和半径，缺一不可.
典例分析
解:如图所示,∠AOB就是所求作的角.
例2：如图所示,已知∠α,∠β(∠β>∠α),求作∠AOB=∠β-∠α.
解析:可先作∠AOC等于∠β,然后在∠AOC的内部以OC为一边,作∠BOC等于∠α,∠AOB就是所求作的角.
B
A
O
C
想一想：还有没有其他作图方法？
尺规作差角
典例分析
2.用尺规作一个角等于已知角,如图所示，下列叙述正确的有(　　)
①OA=O'A';②OB=O'B';③CD=C'D';④∠AOB=∠A'O'B'.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.下列各选项中,属于尺规作图的是 (　　)
A.利用三角尺画45°的角 B.用直尺和三角尺画平行线
C.用直尺画一工件边缘的垂线 D.用尺规作一条线段等于已知线段
D
B
3.如图,若∠α=31°,根据尺规作图的痕迹,则∠AOB的度数为　 　.
4.如图所示，用尺规作∠DEC=∠BAC,作图痕迹弧MN的正确作法是以点　　　为圆心,线段　　　长为半径作弧.
G
PQ
62°
5.如图所示,已知∠β,求作∠AOB,使∠AOB=2∠β.
解:作法:(1)作射线OA;
(2)以射线OA为一边作∠AOC=∠β;
(3)以点O为顶点,以射线OC为一边,在∠AOC
的外部作∠BOC=∠β.
则∠AOB就是所求作的角.如图所示.
基本步骤：两线三弧.
尺规作角
作一个角等于已知角
用尺规作已知角的和、差、倍
利用尺规作图比较角的大小
基本工具:圆规和无刻度的直尺.
先作一个角等于已知角，再在这个角的基础上作其他角，区别就是“和”与“整数倍”是在角的外部作角，“差”是在角的内部作角.

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