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第四章 基本平面图形
4.3 多边形和圆的初步认识
1.经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩。
2.在具体的情境中认识多边形、正多边形、圆、扇形。
3.能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数。
观察下列图片，看看有哪些熟悉的平面图形？
探究一：多边形
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形.
这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的呢？
多边形的概念：
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形.
提示：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧.
A
B
C
D
E
多边形的表示方式：用大写字母表示.
例如，如图所示多边形可以表示为五边形ABCDE.
归纳总结
A
B
C
D
E
多边形的相关概念：
如图，在多边形ABCDE中,
连接不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如线段AC、线段AD等.
∠EAB、∠B等是多边形的内角(可简称多边形的角)；
线段AB、线段BC等是多边形的边；
点A、B、C、D、E是多边形的顶点；
你还能画出图中其他的对角线吗？
归纳总结
1.如图所示的图形中，属于多边形的有(　　)
A．3个 ? B．4个 ? C．5个 ? D．6个
A
(1)n边形有多少个顶点、多少条边、多少个内角?
归纳：n边形有n个顶点、n条边、n个内角.
n边形
…
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}多边形名称
三角形
四边形
五边形
六边形
八边形
……
n
顶点
边
内角
3
4
5
6
8
n
3
4
5
6
8
n
3
4
5
6
8
n
多边形边、顶点、内角的关系：
尝试·思考
(2)过n边形的每一个顶点有几条对角线?可以分割成多少个三角形？n边形一共有多少条对角线？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}多边形的边数
4
5
6
7
……
n
从一个顶点出发的对角线的条数
分割成的三角形的个数
对角线的总条数
1
2
3
4
2
3
4
5
2
5
9
14
n-3
n-2
????(?????????)????
?
从n边形的一个顶点出发，可以引出(n－3)条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形．n边形共有????(?????????)????条对角线.
?
多边形的对角线：
归纳总结
3.下列多边形中，对角线是5条的多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
B
B
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？与同伴进行交流。
在平面内，各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形.
如上图中的多边形分别是正三角形（等边三角形），正四边形
（正方形），正五边形，正六边形，正八边形.
观察·交流
4.有下列图形：(1)等边三角形，(2)等腰直角三角形，(3)正方形，(4)长方形，(5)梯形．其中是正多边形的有____________．(填序号)
(1)(3)
正多边形必须满足的两个条件：
(1)每条边都相等；(2)每个角都相等．
探究二：圆
下面的图形中有我们熟悉的圆和扇形，你还记得用哪些方法可以画一个圆吗？你能用一根细绳和笔画出一个圆吗？
观察·思考
圆的概念：
O
A
在平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫作圆。
固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径。
圆上任意两点A、B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA、OB所组成的图形叫作扇形。顶点在圆心的角叫作圆心角。
⌒
归纳总结
5.将一个圆分割成三个扇形，使它们的圆心角的比为1：2：3，求这三个扇形的圆心角的度数.
O
B
C
A
解:一个周角为360°，分成的三个扇形的圆心角分别是：
360°×
= 60°
????????+????+????
?
360°×
= 120°
????????+????+????
?
360°×
= 180°
????????+????+????
?
扇形圆心角度数的求法：
圆心角度数＝扇形圆心角占整个圆的百分比×360°.
（1）如图 ，将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积的关系吗？
圆心角的度数=360°÷3=120°.
每个扇形的面积占整个圆的面积的三分之一.
思考·交流
（2）画一个半径是 2 cm 的圆，并在其中画一个圆心角为 60°的扇形，你会计算这个扇形的面积吗？
扇形面积的求法：
扇形的面积＝扇形圆心角占整个圆的百分比×πr?.
O
B
C
A
60°
2 cm
解：这个扇形的面积=π×2?×????????????????????=????????πcm?
?
.
例1:观察、探索及应用:
(1)观察下图并填空．
一个四边形有2条对角线；一个五边形有5条对角线；
一个六边形有________条对角线；一个七边形有________条对角线．
(2)分析探索：由n边形的一个顶点出发，可作________条对角线，n边形共有n个顶点，若允许重复计数一次，则共可作________条对角线．
(3)结论：一个n边形有__________条对角线．
(4)应用：一个十二边形有________条对角线．
9
14
(n－3)
n(n－3)
54
典例分析
例2：将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2∶3∶4.
(1)求这三个扇形圆心角的度数；
(2)若这三个扇形所在圆的半径为3 cm，则这三个扇形的面积分别是多少？
解：(1)因为一个周角为360°，所以分成的三个扇形的圆心角分别为
(2)由题意可知整个圆的面积为π×32＝9π(cm2)．
所以这三个扇形的面积分别为2π cm2，3π cm2，4π cm2.
典例分析
1.下列说法不正确的是(　　)
A．各边都相等的多边形是正多边形
B．正多边形的各边都相等
C．正三角形就是等边三角形
D．各内角都相等的多边形不一定是正多边形
A
2.从n边形的一个顶点出发可以连接2021条对角线，则n的值为(　　)
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
C
3.刘师傅把一个四边形的木板锯掉一个角，那么剩下的木板的形状不可能是(　　)
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
D　
4.从一个正六边形的某一个顶点出发的对角线将这个正六边形分割成了______个三角形．
5.若一个圆的面积是30 cm2，则其圆心角为60°的扇形面积是_____cm2.
4
5
6.将一个圆分割成四个扇形，它们圆心角的度数之比为1∶2∶3∶4，则这四个扇形的圆心角的度数依次为________，________，________，________．
36°
72°
108°
144°
7.如图，把一个圆分成四个扇形，若该圆的半径为4 cm，你能求出它们的面积吗？
解：因为圆的面积为：π×42＝16π(cm2)．
所以S扇形OAB＝16π×45%＝7.2π(cm2)；
S扇形OBC＝16π×10%＝1.6π(cm2)；
S扇形OCD＝16π×25%＝4π(cm2)；
S扇形OAD＝16π×30%＝4.8π(cm2)．
多边形
圆
相关定义
扇形的面积
多边形和圆的初步认识
多边形的对角线
正多边形
定义
扇形圆心角的度数
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形。
连接不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
从n边形的一个顶点出发，可以引出(n－3)条对角线，把这个n边形分成(n－2)个三角形，n边形共有????(?????????)????条对角线.
?
扇形圆心角占整个圆的百分比×360°.
扇形圆心角占整个圆的百分比×πr?.

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