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第五章 一元一次方程
5.1 认识方程
1.能够从实际情境中列出方程.
2.会准确地判断一个式子是否为方程,能够判断一个方程是否为一元一次方程,知道方程的解等概念.
我国古代数学著作《九章算术》中，有一个著名的“鸡兔同笼”问题：笼子里有若干只鸡和兔. 从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 鸡和兔各有几只? 你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗?
解法一 鸡：(35×4-94) ÷2=23（只）
兔：35-23=12（只）.
解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只）
鸡： 35-12=23 （只）
情境：在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10 元，成人票每张 15 元，师生总票款为 475 元。你知道学生和
老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少?
思考：如何解决这个问题呢？
探究一：方程和一元一次方程的概念
(2)上述问题中，如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示为 .
问题：(1)上述问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?
10x+15(45-x)
10x+15(45-x)=475.
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?
（1）涉及的量有：学生人数，老师人数，学生票款，成人票款；
它们之间的等量关系：①学生人数+老师人数=45，
②学生票款+成人票款=475.
(2)如果设这个操场的宽为x m，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为 .
1.某长方形操场的面积是5850 m2，长比宽多25 m.
(1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?
x(x＋25)
x m
(x+25) m
x(x＋25)＝5850
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?
解：(1)涉及的量有：长方形操场的长、宽、长方形操场的面积；
它们之间的等量关系：①长=宽+25m，
②长×宽=长方形的面积.
尝试·思考
2.甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划
多走1km，因此提前 12 min 到达乙地.
(1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系?
(3)你能得到怎样的表示量相等的式子?
(2)如果设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为 .
?????????????????????????+????
?
?????????????????????????+????=????????????????
?
解:(1)涉及的量:甲、乙两地的距离,原计划的速度,实际的速度，实际用的时间,原计划用的时间.
它们之间的等量关系是:①实际的速度=原计划的速度 +1 km/h,
②原计划所用时间-实际所用时间=12 min.
思考：(1)由上面的问题我们得到了表示量相等的式子：
①10x+15(45-x)=475；②x(x＋25)＝5850；③?????????????????????????+????=????????????????.
它们有什么共同特点？
?
共同点：①都含有未知数；
②都是等式.
(2)方程10x+15(45-x)=475和2x+3=7x+4有什么共同特点？
都只含有一个未知数，且未知数的次数都是1.
方程的概念：
等式10x+15(45-x)=475，x(x＋25)＝5850，?????????????????????????+????=????????????????，都是用不同的代数式表示相等的量，像这样含有未知数的表示量相等的等式称为方程.
?
一元一次方程的概念：
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，
未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
1.下列各式是方程的有 ，
是一元一次方程的有 .
①2x2－5＝4；②－m＋8＝1；③x＝1；④x＋y＝1；
⑤x＋3>0；⑥2x2－2(x2－x)＝1；⑦?????????????=????；⑧πx＝12.
?
化简后为：2x=1
是一元一次方程.
①②③④⑥⑦⑧
②③⑥⑧
练一练
①含有一个未知数；
②未知数的次数是1；
③方程中的代数式都是整式.
判断一个方程是一元一次方程，化简后必须满足三个条件：
一元一次方程的一般形式：
一元一次方程的最简形式：ax＝b(a,b是常数，a≠0)．
一元一次方程的标准形式：ax＋b＝0(a,b是常数，a≠0)．
你能求出满足方程 10x+15(45-x)=475 的未知数x的值吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.
根据整式的加减运算法则，将方程的左边化简：
10x+15(45-x)=675-5x，
即675-5x=475，
根据有理数的运算，x=(675-475)÷5=40.
探究二：方程的解
思考·交流
方程的解：
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．
解方程：
求方程的解的过程称为解方程．
2.检验x＝1是不是下列方程的解．
(1)x2－2x＝－1； (2)x＋2＝2x＋1.
解:(1)把x＝1代入方程，左边＝12－2×1＝－1，右边＝－1，左边＝右边，所以x＝1是方程x2－2x＝－1的解．
(2)把x＝1代入方程，左边＝1+2＝3，右边＝2×1+1=3，左边＝右边，所以x＝1是方程x＋2＝2x＋1的解．
练一练
判断一个数是不是方程的解的方法：
分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解．
根据下列问题，设未知数并列出方程(不必求解)：
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长.
列方程：4x=24 .
x
探究三：根据实际问题列方程
(2)一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？
解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h.
等量关系：已用时间+再用时间=检修时间.
列方程：1700+150x=2450 .
思考：怎样将一个实际问题转化为方程问题？列方程的依据是什么？
列方程的一般步骤：
(1)审清题意，弄清已知和未知，找出等量关系；
(2)设未知数，一般求什么就设什么为x；
(3)用含未知数的代数式表示等量关系中的量,将问题转化为方程,即列出方程．
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
实际问题
设未知数
方程
抓关键句子找等量关系
例1：若x=1是关于x的方程2x+a =3的解，则a的值为 .
1
解：将x=1代入方程2x+a =3中，
2+a=3
a=1
解：(1)2x＋(－3)＝7.
(3)设该品牌彩电的标价为x元/台，则0.8x－1300＝220.
(2)设这个数为x，则2x－????????x＝7.
?
例2：根据题意列出方程：
(1)2x与－3的和是7；
(2)某数的2倍比它的????????大7，求这个数；
(3)某商店将进价为1300元/台的某品牌彩电按标价的8折销售，每台仍可获得220元的利润，那么该品牌彩电的标价为多少？
?
1.下列方程中，不是一元一次方程的是(　　)
A．x－3＝0 B．x2－1＝0
C．2x－3＝0 D．2x－1＝0
B
2.在下列方程中，解是x＝2的方程是(　　)
A．3x＝x＋3 B．－x＋3＝0
C．2x＝6 D．5x－2＝8
D
3.列方程表示下列语句中的相等关系：
(1)某地今年9月6日的温差是10 ℃,这天最高气温是t?℃，最低气温是????????t?℃；
(2)某校七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生有110人；
?
(2)n＝45%n＋110.
解：(1)t－????????t＝10.
?
认识方程
方程和一元一次方程的概念
方程的解和解方程
求方程的解的过程称为解方程．
在一个方程中，只含有一个未知数，且方程中的代数式都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．
列方程
含有未知数的表示量相等的等式称为方程.
(1)找等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程．

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