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第五章 一元一次方程
5.3 课时1 几何图形问题
1.能列出一元一次方程解决图形中的等体积、等周长、等面积等问题，并会检验答案的合理性;
2.初步体会用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题：
(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了?
(2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢?
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?
(1)这个问题中包含哪些量?它们之间有怎样的等量关系?
解：(1)在这个问题中的量有： ；
它们之间的等量关系是： .
旧包装的容积=新包装的容积
新旧包装的底面直径、高和容积等
即 ????????????????????????=????????????????????????,
(????????,????????指旧包装底面半径和高，????????,????????指新包装底面半径和高)
?
探究一：等积变形问题
(2)设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格理梳理问题中的信息吗?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA} 有关量
旧包装
新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm3
????.????????
?
12
x
π×(????.????????)2×12
?
π×(????????)2×x
?
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程?
设新包装的高度为xcm.
根据等量关系，列出方程：
.
解这个方程，得x= .
因此，易拉罐的高度变为 cm.
列方程时，关键是找出问题中的等量关系.
π×(????.????????)2×12=π×(????????)2×x
?
14.52
14.52
????????
?
等积变形问题：
等积变形是指一个物体的形状发生变化，但变化前后的体(面)积不变.等量关系是：变形前的体(面)积=变形后的体(面)积.
注意：(1)设未知数时，未知量一定要叙述清楚；
(2)列方程时，单位要统一；
(3)找出问题中的等量关系是列方程的关键.
D
练一练
例：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？
分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
本题涉及的量有铁丝的长度，长方形的长、宽，正方形的边长.
它们的等量关系为：
长方形的周长=铁丝的长度，正方形的周长=铁丝的长度.
探究二：应用一元一次方程解决等长变形问题
x m
(x+1.4) m
解：（1） 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m.
解这个方程，得 x =1.8
1.8+1.4=3.2.
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
根据题意，得 2（x+1.4）+2x =10
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各是多少米？
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x+0.8) m
(2)设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.
根据题意，得 2 (x+0.8)+2x=10
解这个方程，得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m2)，
(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的
边长是多少米？正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化？
解这个方程，得 x=2.5
面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
解：设正方形的边长为xm.
根据题意，得 4x =10
比(2)中长方形的面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
正方形的边长为2.5m，
等长变形问题：
等长变形问题是指把一个长度一定的物体围成不同的平面图形时，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变.
等量关系是：变形前的周长=变形后的周长.
2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6 m，求围成的长方形的宽为多少．设长方形的宽为x m，可列方程为(　　)
A．x＋(x＋0.6)＝5.2 B．x＋(x－0.6)＝5.2
C．2(x＋x＋0.6)＝5.2 D．2[x＋(x－0.6)]＝5.2
C
练一练
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是
什么?与同伴进行交流。
长方形(正方形)的周长=铁丝的长度
审题
找等量关系
设未知数列方程
解方程
检验方程的解
作答
思考·交流
例1：要锻造一个直径为12 cm，高为8 cm的圆柱形毛坯，应截取多少直径为8 cm的圆钢？(不计锻造时的损耗)
(1)本题建立方程的相等关系是_____________________；
(2)设截取直径为8 cm的圆钢x cm，根据数量关系填表：
应截圆钢
锻造毛坯
底面半径(cm)
高(cm)
体积(cm3)
根据题意列方程：____________________．
解得x＝________．
因此，应截取直径为8 cm的圆钢______ cm.
圆钢体积＝毛坯体积
4
6
x
8
π×42·x
π×62×8
π×42·x＝π×62×8
18
18
例2：如图，地面上钉着一个用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形的一个锐角顶点处的钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉长方形的长、宽各是多少？面积是多少？
解：此直角三角形的周长＝6＋8＋10＝24.
①当去掉顶点A处的钉子时，BC为长方形的一条边长，
设长方形的另一相邻边长为x，由题意得2(x＋6)＝24，
解得x＝6，
则该长方形的长和宽均为6，面积为6×6＝36；
②当去掉顶点B处的钉子时，AC为长方形的一条边长，设长方形的另一相邻边长为y，由题意得2(y＋8)＝24，
解得y＝4，则该长方形的长和宽分别为8，4，面积为8×4＝32.
故长方形的长、宽、面积分别为6，6，36或8，4，32.
2.如图所示，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为20 cm，容器内水的高度为15 cm.如果把一根半径为10 cm的玻璃棒垂直插入水中，那么容器内的水升高(水不会溢出)(　　)
A．10 cm ? B．5 cm C．15 cm ? D．12 cm
1.一个正方形花圃的边长增加2 m，所得新正方形花圃的周长是28 m，设原正方形花圃的边长为x?m，由此可得方程为(　　)
A．x＋2＝28 ? B．4(x＋2)＝28
C．2(x＋2)＝28 ? D．4x＋2＝28
B
B
4.一个梯形的面积是 60 cm2，高为5 cm，它的上底比下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长为xcm，则下面所列方程正确的是（ ）
A. 5[x+(x-2)]=60 B.5[x+(x+2)]=60
C.????????×5[x+(x-2)]=60 D.????????×5[x+(x+2)]=60
?
3.一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　)
A.6 cm　 　B.7 cm　　 　C.8 cm　　 　D. 9 cm
B
C
5.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢 厘米.
16
6.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭为 .
30厘米
7.已知长方形的周长是30 cm，长比宽多3 cm，求这个长方形的面积．
解：设长方形的宽为x cm，则长为(x＋3)cm.
依题意，得2(x＋x＋3)＝30.
解这个方程，得x＝6，则x＋3＝9.
因此，这个长方形的面积为6×9＝54(cm2)．
一元一次方程的应用
等积变形问题
等长变形问题
列方程的思路
变形前的体(面)积=变形后的体(面)积
列一元一次方程，首先需要审题，找到其中的等量关系根据题意设未知数，并列出方程，解方程后还要检验方程的解.
变形前的周长=变形后的周长

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