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第五章 一元一次方程
5.3 课时2 “盈不足” 问题
1.能列一元一次方程解决盈亏问题；
2.会用表格分析复杂问题中的数量关系，并体会盈亏问题
未知数的不同设法；
3.进一步体会用一元一次方程解决实际问题的步骤.
把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？
《九章算术》“盈不足”章第一题:今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问:人数、物价各几何?
题目大意:几个人合伙买东西,若每人出8钱,则会多出3钱;若每人出7钱,则还少4钱.合伙人数、物品的价格分别是多少?
(1)问题中有哪些已知量和未知量?它们之间有怎样的等量关系?
解：(1)已知量:每人出8钱，多3钱;每人出7钱，少4钱.
未知量:人数、物价.
等量关系:每人出8钱×人数-多出的3钱=每人出7钱×人数+还少的4钱.
探究：古算术“盈不足”问题
(2)设人数为x,其他未知量能用含x的代数式表示吗?请完成下表.
有关量
每人出8钱
每人出7钱
人数
x
?
出钱总数
?
?
物价
?
?
x
8x
7x
8x-3
7x+4
(3)设人数为x.
根据等量关系,列出方程:　　　　　　　.?
解这个方程,得x=　　　　.?
因此,人数为　　　　,物价为　　　　钱.?
8x-3=7x+4
7
7
53
利用表格分析数量关系是一种有效方法.
如果设物价为y钱,你能列出怎样的方程?与同伴进行交流.
解:设物价为y钱，根据题意，得
????+???????? =??????????????,
?
解这个方程，得 y=53.
????+????????? = ????????+????????? = 7.
因此，人数为7，物价为53钱.
?
你更喜欢哪种设未知数的方法？
“盈不足”问题中一般有两个未知量和两个等量关系.
1.两个未知量:这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的式子表示.
2.两个相等关系:一个用于设未知数，另一个用于列方程.
利用一元一次方程解决“盈不足”问题的方法：
例 《九章算术》“盈不足”章第五题:今有共买金,人出四百,盈三千四百;人出三百,盈一百.问:人数、金价各几何?
题目大意:几个人合伙买金,每人出400钱,会多出3400钱;每人出300钱,会多出100钱.合伙人数、金价各是多少?
有关量
每人出400钱
每人出300钱
人数
x
?
出钱总数
?
?
金价
?
?
x
400x
300x
400x-3400
300x-100
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
解：设合伙人数为x，则金价可表示为（400x-3400）钱，还可表示为（300x-100）钱，根据等量关系,列出方程
400x-3400=300x-100.
解这个方程,得 x=33.
300×33-100=9800.
因此，人数为33，金价为9800钱.
方程的两边就是金价的两种不同的表达式.
(1)对于以上例题，如果设金价为y钱，能列出怎样的方程?
解:设金价为y钱,根据题意列方程,得
????+????????????????????????????=????+????????????????????????,
?
解这个方程,得y=9800.
????+????????????????????????=????????????????+????????????????????????=33.
?
因此,人数为33,金价为9800钱.
思考·交流
(2)对于以上例题,《九章算术》给出了一种算法:
人数=两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差;
物价=每人出的钱数×人数-剩余钱数。
你能理解这种解法吗?与方程的求解过程相比，有什么不同?与同伴进行交流。
答:人数为(3400-100)÷(400-300)=33，
金价为400×33-3400=9800(钱).
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
1.审——通过审题找出等量关系（关键）.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
??????????????????= ????????
?
我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:
“庭前孩童闹如簇,不知人数不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨,多12个梨;每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个,则可列方程为　　　 　　.?
练一练
例1：《九章算术》里有一题大意:今有人合伙买玉石，每人出????????钱，会多出4钱；每人出????????钱，又差3钱.问：人数、玉石的价格各是多少？
?
解：设人数为x.
由题意，得 ?????????????????=????????????+????.
解得 x=42.
所以玉石的价格为????????×?????????????=????????(钱).
答：人数为42，玉石的价格为17钱.
?
例2：某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.求该店有房客多少人.
解：设该店有x间客房,则
7x+7=9x-9,
解得x=8.
7x+7=7×8+7=63.
答:该店有房客63人.
1.动物园的门票售价:成人票每张50元,儿童票每张30元.某日动物园售出门票700张,收入29 000元.设儿童票售出x张,根据题意可列出方程为( )
A.30x+50(700-x)=29 000 B.50x+30(700-x)=29 000
C.30x+50(700+x)=29 000 D.50x+30(700+x)=29 000
A
2.古代名著《孙子算经》中有一题:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步.问人与车各几何?设有车x辆,则根据题意,可列出方程是( )
A.3(x+2)=2x-9 B.3(x+2)=2x+9
C.3(x-2)=2x-9 D.3(x-2)=2x+9
D
3.把一些笔记本分给某班学生,如果每人分2本,则剩余20本;如果每人分3本,则还缺30本,设该班有x名学生,可列一元一次方程为( )
A.2x-20=3x-30 B.2x+20=3x+30
C.2x-20=3x+30 D.2x+20=3x-30
D
4.笔记本比水性笔的单价多2元,小刚买了6本笔记本和2支水性笔正好用去20元.如果设水性笔的单价为x元,那么下面所列方程正确的是( )
A.6x+2(x-2)=20 B.6(x-2)+2x=20
C.6x+2(x+2)=20 D.6(x+2)+2x=20
D
6.《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽.问城中家几何?大意为:今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完.则城中有　　　　户人家.?
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5.某校组织师生去参观一大型工程建筑,如果租用60座的甲种客车若干辆,刚好坐满;如果租用80座的乙种客车可少租1辆,且余40个空座位,设该校师生x人,则可以列方程为____________.?
????????????? -??????+???????????????? = 1　
?
7.某校组织七年级学生研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位.求该客车的载客量.
解：设该客车的载客量为x人,
根据题意得:4x+30=5x-10,
解得x=40.
答:该客车的载客量为40人.
一元一次方程的应用
“盈不足”问题
两个未知量和两个相等关系：一个用于设未知数，一个用于列方程.
审：通过审题找出等量关系(关键).
设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
列：依据找到的等量关系，列出方程.
解：求出方程的解(对间接设的未知数切记继续求解).
验：检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
答：注意单位名称.
列一元一次方程解应用题的主要步骤

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