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第五章 一元一次方程
5.3 课时3 行程问题
1. 借助“线段图”分析行程问题中的数量关系，从而建立方程解决
实际问题；
2. 充分利用行程问题中的速度、路程、时间的关系列方程解决问题.
小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学.一天,小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min,小明的爸爸发现小明忘了带语文书.于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
你能用一元一次方程解决这个问题吗？
思考：(1)上述问题中有哪些已知量和未知量？
解：（1）已知量:小明家到学校1000 m、小明的速度80m/min、
小明已出发5min、小明爸爸的速度180m/min；
未知量:小明爸爸追上小明用的时间、
小明爸爸追上小明时距离学校多远.
(2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？
探究一：应用一元一次方程解决追及问题
设爸爸追上小明用了 x 分钟,当爸爸追上小明时,所行路程相等,如下图所示.
学校
小明家
180x
爸爸追上小明的位置.
80x
小明5min走的路程:80×5.
小明在爸爸追时走的路程:80x.
爸爸追赶小明时走的路程:180x.
80×5
根据等量关系，可列出方程： .
解这个方程，得x= .
因此，爸爸追上小明用了 min,
此时距离学校还有 m.
4
4
180x=5×80+80x
280
(3)你是怎样列出方程的，与同伴进行交流.
1000－180×4＝280(m)
画图分析数量关系是一种有效方法.根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了.
追及问题：
甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
(1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离；
注意：同向而行注意始发时间和地点．
(2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．
1.《九章算术》中有一道题，原文：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？(　　)
A．300步 ? B．250步 ? C．200步 ? D．150步
B
练一练
线段图：
甲
乙
甲、乙两站间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶 85 千米.
（1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
解：（1）设 两车行驶了xh相遇，
根据题意得 65x+85x=450，
解，得 x = 3.
答：两车经过3h相遇.
分析：等量关系：慢车路程＋快车路程=甲乙之间的距离.
相遇
慢车行驶的路程65x
甲乙两地之间的距离450km
快车行驶的路程85x
探究二：应用一元一次方程解决相遇问题
甲
乙
线段图：
（2）快车先开30min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？
相遇
快车先开30min行驶的路程85×0.5
慢车行驶的路程65y
甲乙两地之间的距离450km
快车在慢车走时行驶的路程85y
解：（2）设慢车行驶了y小时两车相遇.
据题意得 65y+85（y+0.5）=450，
解，得 y= ????????????????????.
答：慢车行驶了????????????????????小时两车相遇.
?
关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这类问题往往根据路程之和等于总路程列方程．
如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程．
相遇问题：
2. A,B两站间的距离为 335km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55 km，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85 km.设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为( )
A.55x＋85x＝335 B.55(x－1)＋85x＝335
C.55x＋85(x－1)＝335 D.55(x＋1)＋85x＝335
D
练一练
例：小明和小华两人在400米的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260米，小华每分钟跑300米，两人起跑时站在跑道同一位置.
（1）如果小明起跑后1min小华才开始同向跑，那么小华用多长时间能追上小明？
（2）如果小明起跑后1min小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？
分析:本题涉及哪些量?你能画图说明小明和小华跑步的情形吗?在问题
(1)和(2)中，两人所走的路程分别有什么关系?
探究三：环形跑道中的追及和相遇问题
解：（1）设小华用 x min追上小明.
根据题意，得260（x＋1）＝300x
解，得 x＝6.5.
所以小华用6.5min追上小明.
（2）设小华起跑后 x min两人首次相遇.
根据题意，得 260（ x ＋1）＋300 x ＝400，
解，得 x ＝0.25.
所以小华起跑后0.25min两人首次相遇.
环形跑道长s米，设v甲＞v乙，经过t秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行：
v甲t-v乙t=s.
②同时同地、背向而行：
v甲t+v乙t=s.
追及问题
相遇问题
环形跑道问题：
3.在800米的环形跑道上有两人在练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，若两人同时同地同向起跑，t 分钟后第一次相遇，则 t 的值为 .
20
等量关系：甲路程－乙路程＝800.
320t－280t＝800
练一练
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
实际问题
抽象
寻找等量关系
数学问题（一元一次方程）
解方程
数学问题的解（一
元一次方程的解）
验证
实际问题的解
解释
例1：小明家离学校2.9千米．一天，小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，则小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
解析：设小明爸爸出发x分钟后接到小明．
可以画出线段图如右图所示.
解：设小明爸爸从家出发x分钟后接到小明，
由题意，得200x＋60(x＋5)＝2900.
解这个方程，得x＝10.
因此，小明爸爸从家出发10分钟后接到小明．
例2:小明的爷爷每天都步行到距离家3.2千米的公园去打太极拳.周日早晨，爷爷出发半小时后，小明发现爷爷忘记带家门钥匙了，小明就骑自行车去给爷爷送钥匙．如果爷爷的速度是4千米/时，小明骑自行车的速度是12千米/时，当小明追上爷爷时，爷爷到公园了吗？
解：设小明用x小时追上爷爷.
因为3千米＜3.2千米．
所以小明追上爷爷时，爷爷没有到公园．
1.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇(　　)
A．208秒 B．204秒 C．200秒 D．196秒
D
2.某轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水速是3千米/时，则轮船在静水中的速度是(　　)
A．18千米/时 ? B．15千米/时 C．12千米/时 ? D．20千米/时
B
3.甲、乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点处往后退20米，乙从起点处向前进10米，若甲、乙两人同时出发，则甲经过几秒钟追上乙？
解：设甲经过x秒追上乙．
由题意，得8x－5x＝20＋10.
解这个方程，得x＝10.
因此，甲经过10秒追上乙．
4.A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时．
根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.
解这个方程，得x＝5.5.则x＋1＝6.5.
因此，甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时．
5.一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9 h，当逆风飞行时则需3.1 h．已知风速为20 km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离．
解：设无风时飞机的航速为x km/h，
根据题意，得 2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．
解这个方程，得 x＝600.
则3.1(x－20)＝1798.
因此，无风时飞机的航速为600 km/h，这两个城市之间的距离为1798 km.
一元一次方程的应用
同向追
及问题
相向相
遇问题
同地不同时：甲路程＝乙路程
同时不同地：甲路程＋路程差＝乙路程
甲的路程＋乙的路程=总路程

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