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第一章至第二章 有理数和有理数的运算 阶段检测试题
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．下列各数中，是负数的是（ ）
A． B．1 C． D．0
2．下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．体育用品专卖店中某品牌的乒乓球产品参数中标明球的直径是，下列待检查的乒乓球直径合格的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若有理数a，b满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．5 D．
6．已知，，且，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．若点A、B、C在同一条数轴上，其中A、B表示的数分别为、1，若，则（ ）
A．3 B．5或7 C．3或5 D．3或7
8．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为33的是（ ）
A． B． C． D．
9．如果，，，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（　　）
A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5
11．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若折叠后的点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（ ）

A． B．2 C． D．3
12．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果645
二、填空题
13．计算：的结果是 ．
14．有理数精确到万位是 （结果用科学记数法表示）．
15．如图小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，被墨水完全盖住部分的整数的和是 ．

16．下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号）
17．一个正整数，由个数字组成且个数字各不相同，若它的第一位数可以被整除，它的前两位数可以被整除，前三位数可以被整除，，一直到前位数可以被整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：的第一位数“”可以被整除，前两位数“”可以被整除，“”可以被整除，则是一个“精巧数”．若四位数是一个“精巧数”，则为 ；若一个四位“精巧数”各数位数字之和能被整除，则满足条件的四位“精巧数”最大值为 ．
18．如图，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．按要求解答
如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是4．

(1)把这四个数在数轴上表示出来；
(2)把0，，，这四个数按从小到大的顺序用“<”连接起来；
(3)大于并且小于4的所有整数的和为 ．
21．如图，点在数轴上所对应的数为．
(1)若点在点右边距点有个单位长度，则点所对应的数为 ；
(2)在（1）的条件下，点以每秒个单位长度沿数轴向左运动，同时点以每秒个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离；
(3)在（2）的条件下，点静止不动，点沿数轴以原速向左运动时，经过多长时间，两点相距个单位长度？
22．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数是集合的元素时，有理数也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”，例如集合就是一个“好的集合”．
(1)集合______填“是”或“不是”“好的集合”．
(2)请你再写出两个“好的集合”不得与上面出现过的集合重复______．
(3)在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是______．
23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答后面“探究”中的问题．
【提出问题】已知三个有理数，，满足，求的值．
【解决问题】解：由题意可知，，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
当，，都是正数，即，，时，；
当，，中有一个正数，另两个为负数时，设，，，则；所以的值为或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题．
(1)已知三个有理数，，满足，求的值；
(2)已知，且，求的值．
24．若A，B，C三点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且满足，则称B为A，C两点的倍距点．例如：若，，，因为，，所以，即B是A，C两点的倍距点．
(1)若，，，请说明：B是A，C两点的倍距点；
(2)若，B是A，C两点的倍距点，且，求b的值．
25．【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．
26．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如数轴上点，，所表示的数分别为，，，此时点是点，的“联盟点”．

(1)若点表示数，点表示数，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为______；
(2)若点表示数，点表示数，下列各数，，，所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是______；
(3)点表示数，点表示数，为数轴上一点．
若点在点的左侧，且点是点，的“联盟点”，此时点表示的数是______；
若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A A D D D D A
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查负数的识别，根据常见的负数形式逐项判断即可得到答案，熟记小于的数是负数是解决问题的关键．
【详解】解：A、，故是正数，不符合题意；
B、，故是正数，不符合题意；
C、，故是负数，符合题意；
D、既不是正数也不是负数，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】根据有理数的乘方运算，化简绝对值，化简多重符号，解答即可．本题考查了有理数的乘方运算，化简多重符号、绝对值定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：A．，，，故选项A符合题意；
B．，，，故选项B不符合题意；
C．，，，故选项C不符合题意；
D．，，，故选项D不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法在生活中的应用，有理数减法的实际应用等知识点，深刻理解正负数的含义是解题的关键．
根据题意算出球的直径上限和直径下限，然后逐项判断即可
【详解】解：∵，，
∴合格的是．
故选B．
4．A
【分析】本题考查了数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，再根据数轴、有理数的加减法与乘方、绝对值的性质逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，．
A、，则此项正确，符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了绝对值，偶次幂的非负性，代数式的代入求值，掌握非负性的性质，代入求值的计算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
解得， ，
∴，
故选：A ．
6．D
【分析】本题主要考查了绝对值的定义以及有理数的加法运算，熟练掌握绝对值的定义和有理数加法运算法则是解题的关键．先根据绝对值的定义求出、的可能取值，再结合的条件确定、的具体值，最后分别计算的值．
【详解】解：根据题意可知，或，或，
又，
，或，，
当，时，，
当，时，．
故选：．
7．D
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的和差运算，熟练掌握两点间的距公式，线段的和差计算，分类讨论是解本题的关键．
此题画图时会出现两种情况，即点C在线段上，点C在线段的延长线上，再计算即可．
【详解】解：∵A、B表示的数分别为、1，
∴，
∵，
∴，或，
如图：
故选：D
8．D
【分析】本题主要考查有理数的程序运算图，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．根据运算程序图可直接代入进行排除选项．
【详解】解：当，时，则，故A选项不符合题意；
当，时，则有，故B选项不符合题意；
当，时，则有，故C选项不符合题意；
当时，则有，故D选项符合题意．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查了平方差公式、零指数幂、有理数的混合运算，有理数大小比较，正确计算是解题的关键．先根据零指数幂、平方差公式、有理数的乘方、乘法法则计算，再比较大小即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：D．
10．A
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以，，依次循环，且，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，，……
∴这个数列以-2，，依次循环，且，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
11．C
【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，图1中的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数．
【详解】解：图1：，
图2：，
，
点C表示的数是：，
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是理解“铺地锦”计算两个数相乘的方法，建立一元一次方程组．根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此得到，，求解，逐一判断即可．
【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格，
因此，故A正确，不符合题意，
，解得，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意，
，因此乘积结果为645，故D正确，不符合题意，
故选：B．
13．
【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
用科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，再对千位数的数字进行四舍五入即可．
【详解】解：．
故答案为：．
15．
【分析】根据数轴的特点直接得出覆盖部分数字进而得出答案．
【详解】解：由题意得出，覆盖部分整数为：，，，，，1，2，3，4
则：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了数轴的意义以及有理数的加法，正确根据有理数的加法法则得出是解题关键．
16．②③④
【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算、有理数的大小比较内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．针对每一选项逐一判断．
【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意；
对于②：∵，∴同号，
又∵，∴，，∴，
则，故②正确，符合题意；
对于③：若，则有四种情况：
第一种如数轴所示，
此时，
∴，，
则；
第二种如数轴所示，
此时，
∴，，
则；
第三种如数轴所示，
此时，
∴，，
则；
第四种如数轴所示，
此时，
∴，，
∴；
综上，若，则；故③正确，符合题意；
对于④：∵，∴a、b、c中至少有一个负数，
∵，
∴同号，
∵，
∴a和b均为负数，
所以，故④正确，符合题意；
综上，正确的有②③④．
故答案为：②③④．
17．
【分析】本题主要考查了数学常识，新定义问题，整除的概念，解答本题的关键是理解新定义的概念；根据能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，进行分析，即可求解．
【详解】解：四位数是一个“精巧数”，
四位数是的倍数，且这个四位数的数位上数字都不相同，
两位数能被整除，且不等于，，，
为；
四位数是“精巧数”，
是偶数，是的倍数，两位数能被整除，
要求满足条件的四位“精巧数”最大值，应该从满足题意的、、的最大值开始讨论，
这个四位数的数位上数字都不相同，
当时， 是偶数，因此前两位数 可以被整除；
当，时，，是的倍数；
当，时，两位数为，能被整除，
∵四位数满足能被3整除，
满足条件的四位“精巧数”最大值为．
故答案为：；．
18．9
【分析】先算出最中间格子上的数，再算出右上角格子的数，最后可以得到x的值．
【详解】解：∵16+11+12=39，∴由39-（11+15）=13得最中间格子上的数为13，
再由39-（12+13）=14得右上角格子的数为14，
∴x=39-(16+14)=9．
故答案为9．
【点睛】本题考查整数的加减运算，牢牢把握“每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等”这个已知条件是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了乘方、绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．
（1）按照有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先算括号内的乘方，再将除法转化为乘法，利用乘法运算律展开计算，最后依次进行加减运算；
（3）将除法转化为乘法，利用乘法运算律展开计算，同时计算乘方，最后进行加减运算；
（4）先算乘方和括号内的运算，再将除法转化为乘法和绝对值运算，最后依次进行乘法和加减运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
20．(1)见解析
(2)
(3)3
【分析】本题考查了有理数比较大小，
（1）根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；
（2）根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，可得答案；
（3）列出并求得所有大于并且小于4的所有整数的和．
【详解】（1）解：，，，
如图，

（2）
（3）∵大于并且小于4的所有整数，有，，0，1，2，3，
∴．
21．(1)4
(2)16个单位长度
(3)4秒或秒
【分析】本题考查了数轴，一元一次方程中行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．
（1）根据左减右加可求点B所对应的数；
（2）先根据时间路程速度，求出运动时间，再根据路程速度时间求出点B运动后表示的数，进而求解即可；
（3）分两种情况：运动后的B点在A点右边4个单位长度；运动后的B点在A点左边4个单位长度；列出方程求解即可．
【详解】（1）解：．
故点B所对应的数为4；
（2）解：点A运动的时间为（秒），
点B运动2秒后表示的数为，
∴、两点间距离为个单位长度；
（3）解：设经过x秒长时间A，B两点相距4个单位长度，
当运动后的B点在A点右边4个单位长度，
依题意有，
解得；
当运动后的B点在A点左边4个单位长度，
依题意有，
解得．
故经过秒或秒，A，B两点相距4个单位长度．
22．(1)不是
(2)、
(3)
【分析】本题主要考查的是有理数的减法以及新定义的知识，理解好集合的概念是解题的关键．
（1）用减去集合中的每一个元素，根据所得结果是否也在该集合中进行判断即可；
（2）依据题意可知任意两个和为的数字组成的集合都是一个好集合；
（3）元素个数最少的集合中只要有一个元素，设其元素为，故此，从而可求得问题的答案．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴集合不是 “好的集合”，
故答案为：不是；
（2）解：∵，，，
∴、是好集合．
故答案为：、；
（3）解：若“好的集合”中只有一个元素，设其为，
由题意得：，解得，
元素的个数最少的好集合是．
故答案为：．
23．(1)或1
(2)或
【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘法、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．分两种情况，分别计算即可得解；
（2）由绝对值的性质并结合题意可得，．再分两种情况计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可知，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a，b，c都是负数，即，，时，；
②当a，b，c中有一个负数，另两个为正数时，设，，，则；
所以的值为或1．
（2）解：由，，得，．
因为，所以，．
当，时，；
当，时，．
所以的值为或．
24．(1)详见解析；
(2)或．
【分析】本题考查了绝对值的应用问题，有理数中的新定义问题等，掌握题中的倍距点的定义是解题的关键．
（1）分别求出和，证明相等即可；
（2）根据B是A，C两点的倍距点，得到关于a，b，c的等式，结合，分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：，，，
即，
B是A，C两点的倍距点；
（2） B是A，C两点的倍距点，
，
，，
，
或，解得或，
或．
25．(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离
(2)-1，0，1，2，3
(3)4
(4)7
(5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是
【分析】（1）根据题意即可得出结论；
（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果；
（3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值，
即可求出结果；
（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；
（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；
故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离．
（2）解：根据题意可得，
的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和，
∴当时，取最小值，
即当x可以取整数，0，1，2，3；
故答案为：，0，1，2，3．
（3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，
时取得最大值，
的最大值是：．
（4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和，
当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即，
当时，的值最小，最小值为7；
故答案为：7．
（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，
根据题意可得，便民服务点到四点的距离为，
当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即，
当时，
取得最小值，此时，
答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是．
【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键．
26．(1)
(2)
(3)或或；或或
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法．
（1）根据“联盟点”的定义可得或，设点表示的数为，得出的取值范围为，然后进行分类讨论即可；
（2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可；
（3）设点标示的数为，进行分类讨论：当点在点和点之间时，当点在点左边时，即可解答；设点表示的数为，然后进行分类讨论：当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时，当点是点和点的“联盟点”时．
【详解】（1）解：点是点的“联盟点”，
或，
设点表示数为，
点在、之间，且表示负数，
，
若，则，
解得：，（不合题意舍去）；
若，则，
解得：，
故答案为：；
（2）根据题意可得：
，
，
是点的“联盟点”，
，
，
不是点的“联盟点”，
，
，
不是点的“联盟点”，
，
，
是点的“联盟点”，
总之，是点的“联盟点”，
故答案为：；
（3）设点表示的数为，
当点在和之间时，
若，则，
解得；
若，则，
解得；
当在左边时，，
则，
解得：；
故答案为：或或；
设点表示的数为，
当是和的“联盟点”时，，
则，
解得；
当是和的“联盟点”时，
若，则，
解得，
若，则，
解得；
当是和的“联盟点”时，，
则，
解得舍去，
综上：点表示的数为或或，
故答案为：或或．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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