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2025 年秋季学期第一学月学情检测
九年级 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间为 120 分钟.答卷前，考生 务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。考试结束后，本试题卷由学生保管，只将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
注意事项：必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.如需改动，用橡皮擦干净 后，在选涂其他答案标号.写在本试卷上无效。
一、单选题（每小题 4 分，共 48 分）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C．ax2+bx+c＝0 D．
2．一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
3．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．y的最大值为1 B．开口向上
C．当时，y的值随x值的增大而减小 D．图象的对称轴是y轴
4．关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有1个实数根
5．若点（0，y1），（-1，y2），（2，y3），都在二次函数图象上，则（　　）
A． B． C． D．
6．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（ ）
A． B． C． D．
7．某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（ ）
A．14 B．10 C．14或10 D．10或12
10．若m，n是方程7=0的两根，则代数式的值是（ ）
A．15 B．－15 C．－1 D．29
11．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2﹣a的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
12．对于一元二次方程，下列说法中正确的是（　　）
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本答题共5小题，每小题 4 分，满分 20分）
13．方程化成一般形式是 ．
14．已知关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
15．若m，n是方程的两实数根，则m+2mn+n的值为 ．
16．一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，共送72张贺卡，设该小组共有人，则可列方程 ．
17．如图，已知点在函数位于第二象限的图象上，点在函数位于第一象限的图象上，点在y轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为 ．

三、解答题（本答题共8个题，共82分.）
18．（8分）用适合的方法解下列方程：；
19．（8分）已知：关于的一元二次方程．
(1)若为方程的一个根，求的值；
(2)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
20．（8分）已知二次函数．
在坐标系中画出此抛物线的大致图象：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
… 4 …
(2)该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到；
(3)当时，的取值范围是__________________________________．
21．（10分）已知关于的一元二次方程 有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为与，若，求的值．
22．（10分）如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为．
(1)用含有x的代数式表示平行于墙长一边使用的篱笆的长度；
(2)求x的值．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．
(1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长；
(2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的右侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？
24.（13分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？
25.（15分）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
（1）下列是“差根方程”的是　 　 ；（填写序号）
①；②
（2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值．
（3）已知直角△的一条边的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．

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