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高三数学考试
时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（每小题5分）
1．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
A．， B．，
C．“”是“”的充分且不必要条件 D．若，则
3．在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝
A．1 B． C． D．
4．已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．若，当时，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分）
9．记为数列的前项和，，则（ ）
A． B．
C．数列为等比数列 D．数列的前项和为，则
10．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，且有两解，则的取值范围是
D．若，的平分线交于点，，则的最小值为9
11．已知函数，则（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于
D．已知函数无最小值，则a的取值范围是
三、填空题（每小题5分）
12．已知在等差数列中，，则 ．
13．函数在处的切线与直线垂直，则实数 .
14．已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ．
四、解答题
15．已知数列的满足，.
(1)求数列的通项公式.
(2)设数列，前n项和为，求.
16．在中，角的对边分别为，若：
(1)求的大小；
(2)求的最大值.
17．已知平面向量，，设函数．
(1)求函数图象的对称轴；
(2)若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
18．已知函数
(1)当时
①求曲线在点处的切线方程；
②求的单调区间与极值．
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19.已知函数．
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若，证明：当时，在区间上恒成立．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D B C A B A ACD BD
题号 11
答案 AD
12．36
13．
14.
15．【解】（1）因为，所以，
又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以.
（2）因为，
所以，
故，
两式相减得：，
所以.
16．【解】（1）因为，所以，
即，
又，所以.
（2）由（1）可知，所以，
则
又，则，
所以当时，即时，有最大值为1.
17． 【解】（1）解：因为，，且，
所以
即，
当时，解得，
所以对称轴．
（2）解：当时，，
令，解得，即函数在上单调递增，
令，解得，即函数在上单调递减，
又，，
∵在区间上有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点，
∴．
18．【解】（1）①当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
②函数的定义域为，，
由，得；由，得，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
函数在处取得极大值，无极小值.
（2）函数，由，得，令，
由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点，
因此函数有两个零点时，，
所以实数的取值范围为.
19．【解】（1）当时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故，即，
所以的最小值为．
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，故，
而，
所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为．
设，则需满足在区间上恒成立，
设，则，
因为，所以，，若，则，
故恒成立，故在区间上为增函数，
故，即在区间上恒成立．
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