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第21-22章 一元二次方程和二次函数 阶段检测试题
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
5．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．有最大值，最大值是
C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大
6．若m、n是一元二次方程x2＋3x﹣9＝0的两个根，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
7．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
9．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
12．若是关于的方程的两个根，且，则 ．
13．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为 ．
14．点，，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是 ．
15．二次函数的图象经过点，则关于x的一元二次方程的根为 ．
16．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 ．
17．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为 ．
三、解答题
18．解方程：．
19．已知二次函数的图象顶点是，且过点，求这个二次函数的解析式．
20．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数．若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过元，李明想使获得的月利润不低于元，求销售单价x的取值范围．
21．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且）．
(1)若，求x的值；
(2)若，求证：方程总有实数根．
22．某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为．
(1)求围成的矩形苗圃园的面积；
(2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？
23．根据以下素材，探索并完成任务．
探究汽车刹车性能
“道路千万条，安全第一条”．刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）．
素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间． 刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．
素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下：
刹车后汽车行驶时间 1 2 3 4
刹车后汽车行驶距离 27 48 63 72
素材3 该兴趣小组成员发现： ①刹车后汽车行驶距离y（单位：）与行驶时间t（单位：）之间具有函数关系（、a、b 为常数）； ②刹车后汽车行驶距离y随行驶时间t的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
问题解决：请根据以上信息，完成下列任务．
任务一：求 y 关于t的函数解析式．
任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由．
24．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”______．
(2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______．
(3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根．
25．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，求的周长；
(3)当的面积等于面积的时，求点D的横坐标．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C D C C A D D
1．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7，
故选A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．D
【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线，求出的值即可．
【详解】解：，
对称轴为直线，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键．
4．C
【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行解题即可．
【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得到．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据的图象与性质即可判断答案．
【详解】解：∵中，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，有最小值，最小值是，当时，随的增大而增大
故选：D．
6．C
【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n= 3，mn= 9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m 9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x 9＝0的两个根，
∴m＋n＝ 3，mn＝ 9，
∵m是x2＋3x 9＝0的一个根，
∴m2＋3m 9＝0，
∴m2＋3m＝9，
∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9 3＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2= ，x1 x2=．
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键．
根据二次函数得到开口向下和对称轴，再根据距离对称轴远近进行判断即可．
【详解】解：在二次函数中
∵，,
∴图象开口向上，对称轴为直线，
点距离对称轴有2个单位长度，
距离对称轴有1个单位长度，
距离对称轴有3个单位长度，
根据距离对称轴越远，函数值越大可得：．
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可．
【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文，
根据题意，得．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定．
根据已知条件得到当时，，即，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故②正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故③正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故④正确．
【详解】∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵与轴的一个交点在点和之间，
∴当时，，即，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，即，
时，，
即，故②正确；
∵抛物线顶点坐标为，
∴抛物线与直线有唯一一个交点，
即方程有两个相等的实数根，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向下，
，
∴直线与抛物线没交点，
∴一元二次方程没实数根，故④正确；
综上，①②③④正确．
故选：D．
11．
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．
由关于x的方程是一元二次方程，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，，
解得：．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入得到关于的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
故答案为：．
13．22
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出得到，由对称性可知，，据此可得答案．
【详解】解：在中，当时，或（舍去），
∴，
由对称性可知，，
∴，
故答案为：22．
14．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式．根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，由题意推出二次项系数小于，再结合、点坐标的特点即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
∵点在二次函数的图象上，且，
∴当时，有最大值，
，
∴二次函数图象在上随的增大而增大，在上随的增大而减少，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴点离对称轴更近，
，
解得：，
故答案为：．
15．或
【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，明确一元二次方程和抛物线与x轴交点之间的关系，是解题的关键．
确定二次函数与x轴的交点为和，即可求解．
【详解】解：∵当时，
∴二次函数的图象经过点，
∵二次函数的图象也经过点，
∴二次函数的图象与x轴的交点为和，
∴关于x的方程的根为或，
故答案为：或．
16．15
【详解】解：，
解得x1=3，x2=6，
当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15．
故答案是：15．
17．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长．
【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上，
∴，
解得，，
即，，
∴，
∴矩形框架的周长为
故答案为：．
18．，
【分析】本题考查解一元二次方程，先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，
或，
解得，．
19．
【分析】本题考查求二次函数的解析式，若已知抛物线的顶点、对称轴或极值，则设顶点式为，.顶点坐标为，对称轴方程为，极值为当时，来求出相应的数．
【详解】设二次函数解析式为，图象顶点是，
∴，
依题意得：，
解得，
∴.
20．销售单价的取值范围是
【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数的图象及其性质．
设获得的月利润为元，根据题意可得关于的函数表达式，由二次函数的图象和性质，结合题意即可得月利润不低于元时，销售单价的取值范围．
【详解】解：设获得的月利润为元，
根据题意可得，
当时，即，
整理得，
解得，，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵获得的月利润不低于元，
∴，
∵销售单价不得超过元，
∴销售单价的取值范围是．
21．(1)x的值为1或
(2)见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，
对于（1），先得出一元二次方程的一般形式，再根据因式分解法求解即可；
对于（2），求出，再整理可得结果，然后根据结果判断即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
解得，
∴x的值为1或；
（2）证明：∵，
∴，
∴
，
∴方程总有实数根．
22．(1)苗圃园的面积为160平方米
(2)小路的宽为1米
【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，找准等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据矩形边长的比例关系设未知数，结合围墙长度和门的宽度列出方程，求出矩形的长和宽，进而计算面积；
（2）把种植玫瑰花的区域看作一个新的矩形，根据其面积列出一元二次方程，求解得出鹅卵石小路的宽度．
【详解】（1）设与院墙垂直的一边长为米，则与院墙平行的一边长为米，且，
即，
由题意，得，解得，
与院墙垂直的一边长为10米，与院墙平行的一边长为16米，
围成的矩形苗圃园的面积为平方米；
（2）设小路的宽为米，由题意，得，
整理，得，解得(舍去)，，
鹅卵石小路的宽为1米．
23．任务一 ：；任务二：该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式；
（2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题．
【详解】解∶任务一 ：将、代入
得
解得
∴y 关于 t 的函数解析式为
任务二：不会
∴当时， 汽车停下， 行驶了，
∵
∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物．
24．(1)
(2)；互为倒数
(3)和
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案．
【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：；
故答案为：；
（2）解：对于方程，
，
解得：，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根，
，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：；互为倒数；
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”的两根为，
则方程的两根，
即，
整理方程得，
∴关于的方程的两根为和．
25．(1)
(2)
(3)1或3
【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合图形性质（如平行于x轴的点的对称性、垂直辅助线构造直角三角形）转化几何问题，利用面积割补法建立方程求解．
（1）将抛物线与x轴交点A、B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而确定抛物线解析式；
（2）先由抛物线解析式确定C点坐标（与y轴交点）和对称轴；根据轴，利用抛物线对称性得D点坐标，计算长度；再用勾股定理分别求出的长度，三者相加得周长；
（3）先用待定系数法求直线的解析式；设D点横坐标为m，结合抛物线和直线解析式表示出D、G（与交点）的纵坐标，计算长度；求出的面积，根据与的面积关系，利用“”列方程，求解得D点横坐标．
【详解】（1）解：将代入，
得解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图①，由抛物线的解析式可知抛物线对称轴为直线．
∵轴，
∴点D与点C关于直线对称，
∴，
∴．
∵，
∴，
，
过点D作轴于点E，
∵，
∴，
，
∴的周长为；
（3）解：如图②，过点D作轴于点F，交于点G，
设所在直线的解析式为，
将代入得解得
∴所在直线的解析式为，
设，则，
，
∵，
，
，，
，整理得，解得，
∴点D的横坐标为1或3．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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