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二章 能力检测试题 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．命题“，有”的否定是（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
2．若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
3．若集合，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（ ）
A．87 B．90 C．93 D．96
6．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
7．已知集合，则满足条件 的集合C的个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．15
8．若集合，集合，且，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的充要条件
10．对于实数a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．设正实数满足，则（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为5 D．有最大值为
三、填空题
12．比较大小： ．（填“>”或“<”）
13．已知集合，若集合中只含有一个元素，则实数m的取值范围为 ．
14．若命题“任意”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知全集，集合，，求，.
16．求下列各式的最值
(1)已知，求的最大值.
(2)当时，求的最大值；
17．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形.
(1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？
(2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？
18．已知命题，；命题，.
(1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.
19．已知全集，集合，.
(1)若时，存在集合使得 ，求出这样的集合；
(2)是否存在集合，满足 若存在，求实数的取值范围；若不能，请说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A B D B BD BCD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据全称量词命题的否定求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定可知，
命题“，有”的否定是，有.
故选：C.
2．D
【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集，
所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集.
因为全集，集合，所以或.
因为集合，所以.
故选：D.
3．B
【分析】根据集合的互异性对进行分类讨论即可.
【详解】当时，，违反集合互异性；
当时，此时，符合题意，
故实数a的取值范围为.
故选：B.
4．D
【分析】整理得，，，进而比较大小即可.
【详解】由，
，
，
而，
则，即.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，用韦恩图表示集合，可求解.
【详解】根据题意，设参加动漫社的同学组成集合，
参加志愿者社的同学组成集合，参加篮球社的同学组成集合，
用韦恩图表示集合，可得下图：

所以此次意向调查的总人数为：人.
故选：A
6．B
【分析】根据充分不必要的定义判断即可.
【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集，
只有或满足要求.
故选：.
7．D
【分析】确定集合B中的元素，从而判断出C中可能的元素，结合子集的个数计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意知，
由于 ，则C中元素必有，且C中元素多于2个，
其余可能有的元素可从中选取，
故C的个数等于集合的非空子集的个数，为个，
故选：D
8．B
【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可.
【详解】因为，根据题意得，故，
所以，
则当，解得，
当,时，，符合题意，
当时，此时，不满足集合互异性，故舍去.
所以.
故选：B.
9．BD
【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果.
【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误；
选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确；
选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误；
选项D，当时，，
即，所以，充分性成立，
当时，，必要性成立，所以D正确．
故选：BD.
10．BCD
【分析】举反例即可判断A，对于B，由不等式的性质即可判断；对于CD，由作差法即可判断.
【详解】对于A，让，则，故A错误；
对于B，若，则首先不可能等于0，否则矛盾，
从而，所以，故B正确；
对于C，若，则，，所以，故C正确；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【分析】利用基本不等式即可判断AB，由，利用基本不等式即可判断C，利用(当且仅当时，等号成立)，即可判断D.
【详解】对于A：由，当且仅当时，等号成立，故A错误；
对于B：由，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：由，又，
当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；
对于D：由，所以，
当且仅当时，所以等号不成立，故D错误.
故选：BC.
12．>
【分析】可以通过作差法，将两式相减后分析其符号即可.
【详解】
令函数，其抛物线开口向上，
故对所有实数成立.
因此，原差值，即：，
故答案为：>.
13．
【分析】根据两个集合的交集只含有1个元素，可求的取值范围.
【详解】因为，且集合中只含有一个元素，
所以.
故答案为：
14．
【分析】先求全称量词命题的否定，然后利用分离常数法，结合二次函数的性质求得 的取值范围．
【详解】由于＂任意＂为假命题，
所以 ＂，为真命题，
所以 ，
在区间 上，当 或4 时， 取得最大值为 ，所以 ．
故答案为：.
15．，或
【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可.
【详解】因为集，集合，，
所以
或
或
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可；
（2）由，结合基本不等式求解即可
【详解】（1）因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
（2）因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为；
17．(1)=6m，=4m
(2)=5m，=
【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案；
（2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）设长为，宽为，
则围成四块田地的篱笆总长为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小；
（2）设长为，宽为，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大.
18．(1)或
(2)或或
【分析】（1）根据判别式即可求解,
（2）分别求解为真命题时的范围，即可分两种情况求解.
【详解】（1）由题意可知，得或
（2）命题p为真命题时，
若时，显然满足，
当时，则，解得，
综上可得p为真命题时，；
当命题p真q假时，，解得；
当命题p假q真时，得或
所以当命题p，q中恰有一个为真命题时，实数m的取值范围为或或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，，再根据 求解即可；
（2）根据题意得到，分类讨论与两种情况，结合二次方程的解法即可得解.
【详解】（1）当时，，
，
又因为 ，
所以这样的集合共有如下6个：.
（2）由可得，结合，
当，即，时，，满足题意，
当时，
①若有两个相等的实数根，即，则，
此时，不满足题意，
②若有两个不相等的实数根，又，
结合韦达定理可得两根，故，此时，
综上，实数的取值范围为.
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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