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第二十二章 二次函数--利用二次函数求解最值问题 常见题型总结练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
五、利用二次函数求面积最值的问题
13．（2025·山东东营·一模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(3)动点M在第四象限内的抛物线上，求四边形ACMB面积最大时点M的坐标．
14．（2025·宁夏银川·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点B到直线的距离；
(3)点P在第二象限的抛物线上运动，求当的面积最大时，点P的坐标以及最大面积．
15．如图，已知抛物线经过点，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
(3)在（2）的条件下，连接，，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求出最大值及点M的坐标；若不存在，说明理由．
提升练
1．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点．
(1)求二次函数的解析式．
(2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值．
2．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．
(3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
3．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D．
(1)求二次函数解析式；
(2)求出顶点坐标和点D的坐标；
(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？
4．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标；
(3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值．
5．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
(3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标．
答案
五、利用二次函数求面积最值的问题
13． （1）解：设所求二次函数的解析式为，
把，，代入得
，
解得，
∴这个二次函数的解析式是：．
（2）解：∴，
∴抛物线的对称轴为，
连接，如图所示：
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
当时， ，
∴P点的坐标为；
（3）解：过点作轴，分别与轴和交于点，连接，如图所示：
则四边形ACMB面积，
∵是一个定值，
∴要使四边形ACMB面积最大，则的面积最大，
设，
则，
∴．
则
∵
∴开口向下，当时，有最大值，
∴即时，四边形ACMB面积最大，
此时把代入，
得，
∴．
（1）解：把代入得到，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴，
设点B到直线的距离为，
则，
∴
解得，
即点B到直线的距离为，
（3）设直线的解析式为．
∴
解得
∴直线的解析式为,
设点P的坐标为，作轴交直线于点，
则，
则
∴的面积
当时，有最大值，
此时
此时点P的坐标为
（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）解：存在，
点
．
则
∵，
当时，最大，最大值为．
在中，
当时，
．
综上所述，存在点M，当，最大值为．
提升练
1.（1）解：∵二次函数的图象经过，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）∵二次函数的解析式为，
∴时，，
∴，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
所以直线的解析式为
设点的坐标为．
则点的坐标为．
因为点在点的右边，
所以
．
因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
所以，
所以当时，线段的长度有最大值，最大值为．
2.（1）解：把，代入抛物线中
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：，
当时，，
解得：或，
∴；
设的解析式为：，
∵，，
，
解得：，
∴的解析式为：，
设，
则，
，
当时，有最大值为．
（3）解：如图1，连接，交于点．
，
∴顶点，
设所在直线的解析式为：，
将代入函数解析式得，
解得，
故所在直线的解析式为：，
∵，
∴，
设所在直线的解析式为：，
将点坐标代入函数解析式，得，
故所在直线的解析式为：，
当时，，
即点的坐标为，
当点在点的右侧时，
∵，，，
，，，
，
∴是直角三角形，
是斜边，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴经过的中点，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标是．
∴综上所述，点的坐标是或．
3.（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为.
（2）∵，
∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点D的坐标为；
（3）存在，要使的周长最小，只需最小即可，
∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，
∴，
则，
∴点M满足题意，
设直线的解析式为，把点和代入得，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，
则，
即点为所求．
（4）如图，
设直线的解析式为，把点和点D代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标是，则点Q的坐标是，
则，
∵ ，
∴当时，有最大值为，
此时，
即点P坐标为时，最长．
4.（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：；
（2）解：设，
设的解析式为：，
则，
解得：，
则 的解析式为：，
当时，则，
解得：，
侧，
∴
∵
∴，
解得：或或或（舍去），
此时点，或，
当时，则直线为，平行于x轴
此时，
，满足题意，
综上：则或或或．
（3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图，
则，
∴，
当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，
设直线的直线方程为，
则，解得，
∴直线的直线方程为，
当时，，
那么，点时，的值最大，．
5.（1）解：把点，点代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接交对称轴于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴，
当三点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴；
（3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，，
设点，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
此时，点的坐标为．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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