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第二十二章 二次函数--二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问题
常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题
方法归纳
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。
2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，结合图形范围验根防漏解。
3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
1．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．

(1)求的长．
(2)求的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题
方法归纳
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。
2.解题技巧：用勾股定理（PA +PB =AB 等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结合x范围验根。
3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证直角合理性。
4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线经过点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由
6．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，使的面积最大？求出的最大面积及此时M点的坐标．
三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题
方法归纳
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足“直角”+“两直角边相等”。
2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。
3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），验证交点合理性。
7．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形．
(1)求的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称．
(1)当时，求y的取值范围；
(2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值．
9．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为．
(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若，求的值．
(3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由．
能力练
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

(1)求线段的长；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值；
(3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标．
2．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点运动到什么位置时，的长最大．求出点坐标
(3)是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值；
(3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式．
4．如图，在等腰三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，抛物线的图象经过点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形 如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点．
(1)求拋物线的表达式．
(2)点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值．
(3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
答案
一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题
1． （1）解：将代入，
得
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）当时，，则点C的坐标为，
是等腰直角三角形．
由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，
点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．
过点P作轴于点D，轴于点E，则．
设点P的坐标为，则，
，
解得，
点P的坐标为或．
（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
（1）解；，
∴，
点坐标为点坐标为．
将点分别代入中得
解得
抛物线解析式为．
在中，当时，则，
解得，
点坐标为，
∴．
（2）解；设直线的解析式为，
∴，，
．
把点代入，得解得
直线的解析式为．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
∵，
∴．
设，
①当时，，
解得，
；
②当时，，
解得
或；
③当时，，
解得
或．
综上，点的坐标为或或或或．
二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题
4． （1）解：将点，的坐标分别代入，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线，
∵，
当时，，
∴，
∴设点．
由点，，的坐标，得
，，
．
当为斜边时，，
整理得：，
解得或，
∴点或；
当为斜边时，，
解得，
∴点；
当为斜边时，，
解得，
∴点．
综上所述，点的坐标为，，，．
5． （1）解：∵抛物线经过点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图1中，连接交对称轴于点P，
根据对称性可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
设直线解析式为，则，
解得，
∴直线解析式为，
∵对称轴为直线，
∴当时，，
∴点P坐标．
（3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形．
理由如下：
∵，
∴顶点D的坐标为，
∵，
∴，
设点M的坐标为，则：
，，
①当A为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
②当D为直角顶点时，由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点M的坐标为；
③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即
，
解得或，
所以点M的坐标为或；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或．
（1）解：在抛物线上，
，解得，
抛物线解析式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
当时，，
，且，
，
点在对称轴上，
可设，
，，
当时，，
解得，此时点坐标为；
当时，
解得（与重合，舍去）或，此时点坐标为；
综上可知：存在满足条件的点，其坐标为或；
（3）当时，即，解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，解得，
直线解析式为，
点M是线段上的一个动点，
可设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为4，
此时，
，即M为的中点，
点M为的中点，的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为．
三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题
7． （1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
∴新抛物线的顶点为，
∴，
当时，，
∴点B的坐标为，即，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，解得：或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线，
∴点C的坐标为，
故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为．
8． （1）解：∵抛物线与x轴交于、B两点，且对称轴为，
．
∵抛物线与x轴交于两点，
．
．．
．
∴当时，．
∵当时，，
当时，．
故的取值范围为；
（2）证明：分别过、作直线的垂线，垂直为、．
则．
．
又为等腰直角三角形，
，．
．
．
．
，．
，，
，．
．
∵，，
∴．
．
．
为定值．
（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴设
代入，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把,代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴，，
∴；，
∵，
∴，
整理得，，
解得，或（不合题意，舍去）
∴；
（3）解：由②知，，，
∵，
∴，
又轴，
∴
∴，
若是等腰直角三角形，则有：
①当时，连接，如图，
∴，
∵
∴
∴轴，
∴
∴，
解得，或（不合题意，舍去）
②当时，如图，连接则作于点K，
则且轴，
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
解得，或（不符合题意，舍去），
综上，当或时，为等腰直角三角形
综合练
（1）解：将点代入二次函数得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为；
（2）解：设点的坐标为，
∵，
∴，，，
①当时，为等腰三角形，
则，即，
解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去），
当时，，
所以此时点的坐标为；
②当时，为等腰三角形，
则，即，
解得或，
当时，，即，
当时，，即；
③当时，为等腰三角形，
则，即，
解得，
此时，
所以此时点的坐标为，
综上，点的坐标为或或或．
（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）存在，理由：
令，则，
解得，
∴，，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，，解得，
∴，直线的解析式为，
设点E的坐标为，则，，
∵轴，
∴，
∴；
当时，，如图，
∴，即解得：，（舍去），
∴此时；
当时，如图，作于点，则有，
∴，解得：，（舍去），
∴此时；
综上可知：点的坐标为或．
（1）解：把代入直线，得，
∴，
把代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴，
设点，则，，
∴，，，
若为直角三角形，
则当时，，
∴，即
解得：或（舍去）；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，即
解得：；
此时点P的坐标为；
当时，，
∴，
解得：（舍去）；
综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或．
（1）解：把，代入可得：
，
解得：，
∴，
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：过点作，交轴于点，，垂足为如图所示：
∵，
∴，
把代入可得：，
解得：或，
∴，
∴，
∴，，，，，，
∴；
（3）解：令且满足，，，
∵是以底的等腰三角形，
∴，即，
化简得：，
由，
解得：或，
∴点的坐标为或．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
将点代入得，，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：存在，理由如下：
∵将抛物线上下平移，
∴，抛物线对称轴，
∴设平移后解析式为，
过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，
过点作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向上平移个单位；
同理可得点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向下平移个单位；
综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形．
能力练
1.（1）解：在中，
令得，
或，
，，
；
（2）解：如图，当时，，
∴，
点是直线下方的抛物线上一动点，
设，，
设直线的解析式为，
，，
直线的解析式为．
过点作轴的平行线交直线于点，
，
，
，
当时，有最大值为．
线段的最大值为．
（3）解：①，
，
，
当点与点重合时，满足为等腰三角形，
；
②当时，过点作于点，如图，
，，
，
点的纵坐标为，
点在直线上，
，
．
；

③当时，过点作于点，如图，
，
，．
，
，
，
；
当时，过点作于点，如图，
，
．
∴，
，
，
，
∴．
综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或．
2.（1）解：抛物线过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）解：时，，
，
直线解析式为，
点在线段上方抛物线上，
设，
，
，
，
当时，的长最大，
此时，点的坐标为；
（3）解：存在点使为等腰直角三角形，
设，则，
，
抛物线，
对称轴为直线，
轴交抛物线于点，
、关于对称轴对称，
，
，
，
为等腰直角三角形，，
，
①当时，，
，
解得：（舍去），，
，
②当时，，
，
解得：，（舍去），
，
综上所述，点坐标为或时，使为等腰直角三角形．
3.（1）解：代入和到抛物线得，，
解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）得，，
抛物线，
令，则，
，
又，
，
第一象限点在抛物线上，
设，
①若，则点和点的纵坐标相同，
，
解得：（舍去）；
②若，则点和点的纵坐标相同，
，
解得：或（舍去），
，
代入到抛物线得，，
解得：；
③若，取的中点为，则，
，
，
解得：或（舍去）或（舍去），
，
代入到抛物线得，，
解得：；
综上所述，的值为2或．
（3）解：联立，
消去整理得：，
直线与抛物线交于点、，
，
联立，
消去整理得：，
同理可得，，
，
四边形的面积
，
四边形的面积与的函数关系式为．
4.（1）解：∵点在二次函数的图象上，
，解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：过点C作轴，垂足为K．
为等腰直角三角形，
．
又，
．
又，
．
在和中，
，
，
，．
，．
∴当点B平移到点D时，设，
则，解得（舍去）或．
由题意可得扫过区域的面积为平行四边形和的面积和，
即；
（3）解：存在；
当时，过点P作轴，垂足为G．
为等腰直角三角形，
，．
．
又，
．
在和中，
，
，
，，
∴．
当时，，
∴点不在抛物线上．
当，过点P作轴，垂足为F．
同理可知：，
，，
．
当时，，
∴点在抛物线上，
综上，所有符合条件的点P的坐标为．
5.（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，
得，
解得，
∴抛物线的关系式为；
（2）解：当时，，
∴点．　
设直线的关系为
∵点，，
∴
解得，
∴．
过点P作轴，垂足为M，交于点D，
设点P的横坐标为m，则，则，
∴，
．
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，的最大值为；
（3）解：．
如图，当时，轴，
∴点C与点M关于对称轴对称，
∴点；
如图所示，当，过点M作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∴，，
∴．
设，则点，
∴，
解得（舍去），，
∴点．
故答案为：点或．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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