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函数的概念与性质--函数的单调性与最值 常见题型总结练（一）
2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、定义法判断函数的单调性
1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（多选题）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选题）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（ ）
A． B．
C． D．
5．证明：定义在R上的函数是增函数．
6．（25-26高一上·全国·随堂练习）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
7．（23-24高一上·内蒙古赤峰·月考）已知函数，且，.
(1)求a和b的值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
8．求证：在R上是减函数．
二、求函数的单调区间
1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·江苏·月考）函数的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是 ．
5．（23-24高一上·河南新乡·月考）函数的单调递增区间为 .
6．（2025高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ．
7．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域
三、由函数的单调性求参数（难点）
1．“函数在上为增函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·山东泰安·期中）若实数，函数在R上是单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是 ．
7．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 .
8．（23-24高一上·广东河源·月考）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 ．
9．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ．
四、函数的单调性应用Ⅰ：比较大小
1．若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ．
答案
一、定义法判断函数的单调性
1． 对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误；
令，任取，
则，
当时，，，故在区间内单调递减；
当时，，故在上单调递增，C错误，D错误．
故选：A
AB选项，在是减函数，且，故，
，AB正确；
CD选项，因为，，所以，
，C正确，D错误.
故选：ABC
因为对任意x1，x2∈（0，+∞），都有，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
A：根据反比例函数性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
B：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
C：根据二次函数的性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
D：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：ACD
三、解答题
5． 证明：设和是任意两个实数，且，则
．
于是．
由函数单调性的定义可知，函数是R上的增函数．
6． 对于，
令，得，
故猜想在上是增函数，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
因此在上是增函数.
（1）因为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，在上的单调递减，
证明如下：
在上任取，且，
，
∵，
∴，，，
∴，
∴，在上的单调递减.
，在实数集上任取，
则，
又由，则，且不同时为零，所以，
，即，
故在R上是减函数.
二、求函数的单调区间
1． 由函数的图象可知，单调递增区间是，
又由图知，而，所以A不正确，
故选：D.
，故单调增区间是.
故选：C
函数，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A
画出函数的图象，如下：

故单调递减区间为.
故答案为：
，
由，得，
当时，单调递减，单调递增；
当时，单调递减，单调递增，
所以的单调增区间为．
故答案为：．
因为，
令，解得或，
可知的定义域为，
又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减，
可知在内单调递增，在内单调递减，
且在定义域内单调递增，
可知在内单调递增，在内单调递增，
则在内单调递减，
所以函数的单调递减区间为．
故答案为：.
即
图象如图所示
由图象知，函数在和上是增函数，
在和上是减函数,,
所以函数的单调递增区间为和，
递减区间为和，
值域为.
三、由函数的单调性求参数（难点）
1． 函数在上为增函数，
等价于，即，
所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
由函数在上单调递增，
则，解得，即实数的取值范围为.
故选：.
由题意，，
在中，函数在上是增函数，
，
解得.
故选：A.
因为对任意，当时，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
因为实数且函数在上是单调函数，
所以在单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故选：.
根据二次函数性质，在上递增，在上递减.
所以.
故答案为：.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，函数在上单调递减，
则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
由函数在区间上具有单调性，
可得或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
，定义域为，
故，所以，所以，
又函数在区间上为增函数，
所以在区间上为增函数，
而函数的图象是由的图象平移得到的，
故函数在区间上为增函数，
由反比例函数性质可知，所以，
综上，，即实数a的取值范围是.
故答案为：
四、函数的单调性应用Ⅰ：比较大小
1． 由题意得，即，
而在R上是增函数，则，
故选：B
因为，，，则，
且，可得，即，
可知是上的减函数，且，所以．
故选：B.
依题意，，由在上单调递减，，得，
所以.
故选：C
由知且，由在上是严格增函数，
故，，故．
故选：A.
因为，函数在区间上单调递减，所以．
3.2 函数的基本性质--函数的单调性和最大（小）值 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：图象法求单调区间
1.如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（ ）

A． B．
C． D．
4.定义在上的函数的单调递减区间是 .
二：函数单调性的判断
1．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多选题）在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3.(多选题)下列函数中，在R上是增函数的是（ ）
A．y=|x| B．y=x
C．y=x2 D．y=
4.下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
三：证明或判断函数的单调性
1.下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数在上的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，则下列说法中正确的是（ ）
A．若满足，则在区间内单调递增
B．若满足，则在区间内单调递减
C．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
D．若在区间内单调递增，在区间内单调递增，则在区间内单调递增
四：求函数的单调区间
1.函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．
2.函数的单调递增区间是（ ）
A．（，1] B．[1，） C．[1，4] D．[2，1]
3.已知，则函数的单调增区间是 .
4.（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，，根据图象写出它的单调区间．．
五：函数单调性的应用
1.已知函数在区间上是减函数，则整数a的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数（为实数）是R上的减函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.若在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
六：利用单调性比较大小或解不等式
1.若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
3.设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4.(多选题)设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
1.定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　　)
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
2.函数y＝f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)．
A．f（－2），0 B．0，2 C．f（－2），2 D．f（2），2
3.若函数，它的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上的值域为
二：利用单调性求函数最值
1.函数y＝在[2，3]上的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．－
2.已知函数在区间上的最大值为A，最小值为B，则A-B等于（ ）
A． B． C．1 D．-1
3.函数在区间上的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4.若函数y＝在区间[2，4]上的最小值为5，则k的值为(　　)
A．5 B．8
C．20 D．无法确定
三：求二次函数的最值
1.已知函数在区间上有最大值5，最小值1，则的值等于（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为(　　)
A． B． C． D．
3.（多选题）关于函数（）在上最小值的说法不正确的是（ ）
A．4 B．
C．与的取值有关 D．不存在
4.（多选题）已知在区间上的最小值为，则可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
1.函数在区间上递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则的可能的取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
五：函数最值的实际应用
1.如图所示是函数的图象，图中曲线与直线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域中不单调
D．对于任意的，都有唯一的自变量x与之对应
2.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为,则以下函数图象中,可能是的图象的是(　　).
A． B．
C． D．
4.（23-24高一上·全国·课后作业）一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）.

给出以下4个论断，其中正确的是（　　）
A．0点到3点只进水不出水
B．3点到4点不进水只出水
C．3点到4点只有一个进水口进水
D．4点到6点不进水也不出水
答案
一：图象法求单调区间
根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：.
故选：.
函数的定义域需要满足，解得定义域为，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
故选：D.
函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的，
故该函数的减区间为．
故选：C.
，取
如图所示：
单调递减区间是
故答案为
二：函数单调性的判断
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.
故选:B.
解：函数是上的减函数，
函数在区间上单调递减，
函数在区间单调递减.
函数在区间单调递增，
所以A，B，C符合要求；D项不符合要求.
故选：ABC.
解：选项A，，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项B，显然在R上是增函数，符合题意；
选项C，y=x2，当x<0时单调递减，不符合题意；
选项D，作出草图如下，实线部分，观察图象可得函数在R上为增函数，符合题意.

故选：BD
对于A中，函数在上单调递减，所以A不符合题意；
对于B中，函数在上单调递减，单调递增，所以B符合题意；
对于C中，函数在上单调递减，所以C不符合题意；
对于D中，时函数在上单调递减，所以D符合题意.
故选：D.
三：证明或判断函数的单调性
因为对任意，，当时，都有，所以在上为增函数，
A选项，在上为增函数，不符合题意.
B选项，在上为减函数，不符合题意.
C选项，在上为增函数，符合题意.
D选项，在上为增函数，不符合题意.
故选：C.
因为在上单调递增，且恒成立，
可知函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上的最小值为.
故选：B.
选项A：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项A错误；
选项B：，所以函数在区间上为增函数，故选项B正确；
选项C：可以看作由函数向左平移一个单位得到，所以函数在区间上为减函数，故选项C错误；
选项D：，开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，故选项D错误.
故选：B.
对于AB：函数满足，或，特值并不具有任意性，
所以区间端点值的大小关系并不能确定函数在区间上的单调性，故A，B错误；
对于C：区间和有交集，故函数在区间内单调递增，故C正确，
对于D：区间和没有交集，故不能确定函数在区间内的单调性.
例如在和上递增，但，故D错误．
故选：C.
四：求函数的单调区间
由可得且，
因为开口向下，其对称轴为，
所以的减区间为和
所以的单调增区间为和
故选：C
由，得，解得，
令，则，
因为在上递增，在上递减，而在上递增，
所以在上递增，在上递减，
所以的单调递增区间是，
故选：D
解：因为，对称轴为 ，又开口向下，
又，∴函数的单调递增区间为．
故答案为：
，
函数图象如图所示．
由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
五：函数单调性的应用
解：由题意可得，解得，
∴整数a的取值可以为.
故选：A
函数的对称轴为，
由题意可知，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
由题意知，解得
故选：D
为上的减函数， 时， 递减，即，①， 时， 递减，即，②且 ，③ 联立①②③解得， .
故选：C.
六：利用单调性比较大小或解不等式
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
解：函数在区间上单调递增，则任意两个不相等的实数，与应该同号，所以，
故选：C.
由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
故选：BE.
函数的最大（小）值
一：利用图象求函数最值
∵函数是偶函数，而且在[0，7]上为增函数，
∴函数在[-7，0]上是减函数.
又∵函数在x=7和x=-7的左边是增函数，右边是减函数，且f(7)=f(-7)，
∴最大值为f(7)=f(-7)=6.
故选B.
试题分析：由图观察可知函数在和上单调递增，在上单调递减．
所以函数在处取的最大值为．
又由图观察可知，所以函数的最小值为．故C正确．
由题意，函数表示开口向上，且对称轴为的抛物线，
要使得当，函数的最大值为，则满足且，
解得，所以实数的取值范围是.
故选D.
由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
二：利用单调性求函数最值
y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，
故选：B.
函数在区间是减函数，
所以时有最大值为1，即A=1，
时有最小值，即B=，
则,
故选：A.
由知，在上是增函数，所以在上递增，所以.
故选：C
∴或∴k＝20.选C.
三：求二次函数的最值
由题意，函数，
可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
当时，则函数在区间上单调递增，其最小值为，
显然不合题意；
当时，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故函数的最大值为，
因为，令，即，即，
解得或，
又因为，所以.
故选： D.
设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.
由题意得：二次函数（）的对称轴为，且函数图象开口向上，
则该函数在上单调递减，
所以，
故选：BCD.
解：因为函数，函数的对称轴为，开口向上，
又在区间上的最小值为，
所以当时，，解得（舍去）或；
当，即时，，解得（舍去）或；
当，即时，．
综上，的取值集合为．
故选：BC．
四：判断二次函数的单调性和求解单调区间
函数,二次函数图像开口向上，
若在区间上递增，
则对称轴x=-a,
即a
故选D.
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以在R上的最小值为，且，
（1）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
（2）当时，由的值域为，可知必有
所以且，解得，此时
综上可知，
所以的可能的取值为
故选：BCD
五：函数最值的实际应用
1 由图知：的定义域为，值域为，A、B错；
显然在分别递增，但在定义域上不单调，C对；
显然，对应自变量x不唯一，D错.
故选：C
∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又∵，
∴，
又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）.
∴.
故选：A.
由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓，
故选：D.
由甲，乙图得进水速度为1，出水速度为2，
对A，由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以A正确；
对BC，从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故B错误C正确；
对D，当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变；也可由题干中的“至少打开一个水口”知D错，故D错误．
故选：AC
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