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9.2.1　向量的加减法(1)
一、 单项选择题
1 (2024青岛月考)＋＋等于(　　)
A. B.
C. 0 D.
2 如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3 在△ABC中，若＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是(　　)
A. 正三角形
B. 锐角三角形
C. 斜三角形
D. 等腰直角三角形
4 已知a，b均为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法中正确的是(　　)
A. a∥b，且a与b的方向相同
B. a，b是方向相反的向量
C. a＝－b
D. a，b无论什么关系均可
5 若O是△ABC内的一点，＋＋＝0，则点O是△ABC的(　　)
A. 内心 B. 外心
C. 重心 D. 垂心
6 (2024枣庄月考)设单位向量a，b，c，若p＝a＋b＋c，则|p|的取值范围为(　　)
A. [0，3] B. [0，2] C. [0，1] D. [1，2]
二、 多项选择题
7 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，则下列结论中正确的是(　　)
A. ＋＝
B. ＋＋＝
C. ＋＋＝
D. ＋＋＝0
8 下列结论中，正确的是(　　)
A. 若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B. 若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C. 若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D. 若向量与反向共线，则|＋|＝AB＋BC
三、 填空题
9 (2023梅州月考)若平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|的取值范围是________．
10 若点P为△ABC的外心，且＋＝，则△ABC的内角C等于________．
11 在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是30km/h；水的流向是正东方向，流速是30km/h，若不考虑其他因素，则救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东________，大小是________km/h.
四、 解答题
12 (2024四川期中)
(1) 已知非零向量a，b，求作向量c，使a＋b＋c＝0；
(2) 判断(1)中表示a，b，c的有向线段能否构成三角形，并说明理由．
13 如图，用两根绳子将重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的质量忽略不计)
9．2.1　向量的加减法(2)
一、 单项选择题
1 (2024衡阳期中)(－)－(－)等于(　　)
A. B.
C. D.
2 八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则－等于(　　)
图1 图2
A. B.
C. D.
3 (2024佛山月考)若O是平行四边形ABCD内的一点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A. a＋b＋c B. －a＋b＋c
C. a－b＋c D. a＋b－c
4 已知向量a，b满足|a|＝3，且|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|的值为(　　)
A. 4 B. 2
C. 8 D. －2
5 (2024东莞月考)已知向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，则|b|的取值范围为(　　)
A. (，) B.
C. D.
6 如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表．若用向量d代表整条手臂，则下列结论中正确的是(　　)
A. |a|＋|b|＋|c|＝|d|
B. |a|＋|b|＝|c|＋|d|
C. a＋c＝d－b
D. a＋b＝c－d
二、 多项选择题
7 下列向量运算中，正确的是(　　)
A. a＋b＋d＝e
B. c＝f－d
C. a＝c－b
D. c＋d＋e＝g
8 (2023济南外国语学校月考)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的是(　　)
A. a∥b
B. a＋b＝b
C. a－b＝b
D. |a－b|<|a|＋|b|
三、 填空题
9 (2024自贡期末)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为________．
10 (2024辽阳月考)在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|＝4，且∠BAC＝∠CAD，则平行四边形ABCD的面积为________．
11 (2023开封杞县高中期中)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________．
四、 解答题
12 (2024抚顺期初)如图，已知　＝a，＝b，|a|＝|b|＝2，∠AOB＝60°，求|a－b|与△OBC的面积．
13 如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.
9.2.1　向量的加减法(1)
1. C　＋＋＝＋＝0.
2. B　在正六边形ABCDEF中，＝，＝，所以＋＋＝＋(＋)＝＋＝.
3. D　由题意，得||＝|＋|＝|a＋b|＝.又AB＝BC＝1，所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为等腰直角三角形．
4. A　由条件知，向量a与b共线，且方向相同．
5. C　如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则＝＋.因为＋＋＝0，所以＋＝0，即＝－，则||＝||.因为四边形OBDC是平行四边形，对角线OD与BC相交于点E，所以E是BC的中点，且||＝2||，所以点O是△ABC的重心．
6. A　因为a，b，c为单位向量，所以|p|＝|a＋b＋c|≤3，当且仅当a，b，c方向都相同时，等号成立．作＝a，＝b，＝c，当∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝时，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OAEB，则该四边形为菱形，且∠AOE＝，所以△AOE为等边三角形，且||＝1.又因为∠AOC＝，||＝1，所以＋＝0，此时|p|＝|＋＋|＝0.综上所述，0≤|p|≤3.
7. ACD　由向量加法的平行四边形法则，得＋＝，故A正确；由向量加法的三角形法则，得＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD.
8. AD　对于A，由AC＝AB＋BC，得点B在线段AC上，则＝＋，故A正确；对于B，在△ABC中，＝＋，但AC≠AB＋BC，故B错误；对于C，当，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，故C错误；对于D，当，反向共线时，|＋|＝AB＋BC，故D正确．故选AD.
9. [1，3]　由向量模的三角不等式可得|a＋b|≥||a|－|b||＝1，当且仅当a，b反向时，等号成立；|a＋b|≤|a|＋|b|＝3，当且仅当a，b同向时，等号成立．综上所述，1≤|a＋b|≤3.
10. 120°　如图，由＋＝，得四边形PACB是平行四边形．由点P是△ABC的外心，得PA＝PB＝PC，所以四边形PACB是菱形，所以△APC，△BPC都是正三角形，则∠ACP＝∠BCP＝60°，所以∠ACB＝120°.
11. 60°　30　如图，由题意，得||＝30，||＝30，则四边形OACB为菱形，且∠AOB＝60°，所以||＝2×30×＝30，且∠AOC＝30°，所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东60°，大小为30 km/h.
12. (1) 方法一：当向量a，b不共线时，
如图1，作平行四边形OADB，
使得＝a，＝b，则a＋b＝.
又a＋b＋c＝0，所以＋c＝0，即c＝－＝；
当向量a，b共线时，
如图2，使得＝a，＝b，＝c，
则＋＝a＋b，＝－(a＋b)，
所以＋＋＝0，即a＋b＋c＝0.
图1 　图2
方法二：当向量a，b不共线时，
利用向量加法的三角形法则，如图1，作△ABC，
使得＝a，＝b，＝c，则＋＋＝0，即a＋b＋c＝0；
当向量a，b共线时，
如图2，使得＝a，＝b，＝c，
则＋＝a＋b，＝－(a＋b)，
所以＋＋＝0，即a＋b＋c＝0.
图1 图2
(2) 由(1)可知，当向量a，b不共线时，表示a，b，c的有向线段能构成三角形；当向量a，b共线时，表示a，b，c的有向线段不能构成三角形．
13. 如图，设，分别表示A，B处所受的力，表示重力10N，则＋＝，
易得∠ACB＝360°－150°－120°＝90°，∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，
所以四边形CFWE是矩形，
所以||＝||·cos 30°＝10×＝5(N)，
||＝||·cos 60°＝10×＝5(N)，
故A处受力5 N，B处受力5N.
9．2.1　向量的加减法(2)
1. A　原式＝－－＋＝－＋＝＋＝.
2. B　－＝－＝.
3. C　在平行四边形ABCD中，有＝，即－＝－，所以＝＋－＝a－b＋c.
4. A　由|a＋b|＝|a－b|，得以a与b为邻边的平行四边形为矩形，则|b|＝＝＝4.
5. D　由b＝a－(a－b)，得|b|＝|a－(a－b)|，易知|b|＝|a－(a－b)|≤|a|＋|a－b|＝，当且仅当a，a－b反向时，等号成立；|b|＝|a－(a－b)|≥||a|－|a－b||＝，当且仅当a，a－b同向时，等号成立，所以|b|的取值范围为.
6. C　根据题意，得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c.当且仅当a，b，c同向共线时，|a|＋|b|＋|c|＝|d|才成立，否则不成立，当a，b，c同向共线时，|a|＋|b|＝|c|＋|d|不成立，故C正确，A，B，D错误．
7. BCD　对于A，a＋b＋d＝＋＋＝＝f≠e，故A错误；对于B，f－d＝－＝＋＝＝c，故B正确；对于C，c－b＝－＝＋＝＝a，故C正确；对于D，c＋d＋e＝＋＋＝＝g，故D正确．故选BCD.
8. AB　a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0．对于A，0与任一非零向量共线，故A正确；对于B，a＋b＝0＋b＝b，故B正确；对于C，a－b＝0－b＝－b，因为b为任一非零向量，所以－b≠b，故C错误；对于D，|a－b|＝|0－b|＝|b|，|a|＋|b|＝|0|＋|b|＝|b|，则|a－b|＝|a|＋|b|，故D错误．故选AB.
9. 　如图，设a＝，b＝，a－b＝.因为|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||，所以△OAB为等边三角形，所以a与b的夹角为∠AOB＝.
10. 8　在平行四边形ABCD中，＋＝，－＝.因为|＋|＝|－|＝4，即||＝||＝4，所以四边形ABCD为矩形．又∠BAC＝∠CAD，所以四边形ABCD为正方形，所以四边形ABCD的面积为×4×4＝8.
11. 4　如图，设＝a，＝b，则||＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.因为(＋1)2＋(－1)2＝42，即||2＋||2＝||2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等，得||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
12. 因为|a|＝|b|＝2，∠AOB＝60°，
所以△ABO是边长为2的正三角形，
则|a－b|＝||＝2.
根据题意可知四边形OACB为菱形，
所以OC⊥AB.
如图，设AB与OC的交点为M，则∠BOM＝30°，
则AM＝BM＝1，OM＝＝＝，
所以||＝2，
故S△OBC＝OC·BM＝×2×1＝.
13. 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，＝－＝c－b，
＝＋＝b－a＋c.

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