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第9章　平面向量 本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (2024南通期末)已知向量a＝(－2，4)，b＝(1，x).若a∥b，则|b|的值为(　　)
A. B.
C. 2 D. 4
2 在△ABC中，D是边AB上靠近点A的三等分点，E是边BC的中点，则等于(　　)
A. －－ B. ＋
C. － D. ＋
3 (2023湖州期末)已知单位向量a，b满足|a－2b|＝，则a在b上的投影向量是(　　)
A. a B. －a C. b D. －b
4 (2024绍兴期末)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，(a－b)⊥(3a＋b)，则向量a与b夹角的余弦值是(　　)
A. － B.
C. － D.
5 (2024连云港期末)在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD为钝角，且AB＝AD＝2DC＝2.若E为线段BD上一点，AE＝BE，则·的值为(　　)
A. B. 1
C. D.
6 (2023丽水期末)如图，A，B，C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则|＋＋2|的最大值是(　　)
A. 5 B. 8 C. 10 D. 12
二、 多项选择题
7 若a，b是任意的非零向量，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若a∥b，则a·b＝|a·b|
B. 若(a－b)⊥(a＋b)，则|a|＝|b|
C. 若|a－b|＝|a＋b|，则a⊥b
D. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
8 (2024邯郸期末)已知非零向量a，b，c，则下列命题中错误的是(　　)
A. 若a·a＝b·b，则a＝±b
B. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，则|a·b|＝|a||b|
C. 若|a|＝2，b＝(1，1)，且a∥b，则a＝(，)
D. 若a＝(3，4)，则与a垂直的单位向量的坐标为
三、 填空题
9 已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
10 已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角是________．
11 在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，且CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为________．
四、 解答题
12 (2024镇江期末)在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝(1，－1)，＝(3，1)，＝(m，3)(其中m∈R)，D为坐标平面内的一点．
(1) 若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2) 若向量与的夹角为，求实数m的值；
(3) 若四边形ABCD为矩形，求点D的坐标．
13 (2024苏州期末)如图，在平行四边形ABCD中，已知A＝，AB＝2，AD＝1，E为线段AB的中点，F为线段BC上的动点(不含端点).记＝m.
(1) 若m＝，求线段EF的长；
(2) 若m＝，设＝x＋y，求实数x和y的值；
(3) 若CE与DF交于点G，∥，求向量与夹角的余弦值．
第9章　平 面 向 量
本 章 复 习
1. B　因为a∥b，所以a＝λb，λ∈R，即(－2，4)＝(λ，xλ)，所以解得所以b＝(1，－2)，故|b|＝＝.
2. B　如图，由题意，得＝，＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋.
3. D　由已知，得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝7，因为|a|＝|b|＝1，所以1－4a·b＋4＝7，即a·b＝－，所以a在b上的投影向量为·＝－b.
4. A　设向量a，b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋b)，所以(a－b)·(3a＋b)＝0，即3a2－2a·b－b2＝0，即3－2a·b－4＝0，解得a·b＝－，故向量a与b夹角的余弦值为cos θ＝＝＝－.
5. B　如图，取AB的中点O，因为AE＝BE，所以OE⊥AB，以AB，OE所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0).设∠BAD＝α(<α<π)，E(0，a)，则D(2cos α－1，2sin α)，C(2cos α，2sin α)，所以＝(－1，a)，＝(2cos α－2，2sin α)，＝(2cos α＋1，2sin α).因为∥，所以－1×2sin α＝a(2cos α－2)，解得a＝，则＝(－1，)，故·＝－1×(2cos α＋1)＋＝＝1.
6. C　连接AB，CO.因为AC⊥BC，所以AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，则＋＝(＋)＋(＋)＝2，所以|＋＋2|＝|2＋2(＋)|＝|4＋2|≤4||＋2||＝4×2＋2×1＝10，当且仅当M，O，C三点共线，且，同向时，等号成立，故|＋＋2|的最大值为10.
7. BCD　对于A，若a∥b，则a与b的夹角为0或π，所以a·b＝|a||b|cos 0＝|a||b|或a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，即|a·b|＝|a||b|，故A错误；对于B，若(a－b)⊥(a＋b)，则(a－b)·(a＋b)＝0，所以|a|2－|b|2＝0，即|a|＝|b|，故B正确；对于C，若|a－b|＝|a＋b|，左右同时平方，得a2＋b2－2a·b＝a2＋b2＋2a·b，所以a·b＝0，即a⊥b，故C正确；对于D，若|a＋b|＝|a|＋|b|，左右同时平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，设a，b的夹角为θ，则2a·b＝2|a||b|cos θ＝2|a||b|，解得cos θ＝1.因为θ∈[0，π]，所以θ＝0，即向量a，b共线，所以存在实数λ，使得b＝λa，故D正确．故选BCD.
8. ACD　对于A，由a·a＝b·b，得|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，无法得出a＝±b，故A错误；对于B，由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a，b同向共线，则|a·b|＝|a||b|，故B正确；对于C，因为b＝(1，1)，且a∥b，设a＝λb＝(λ，λ)，λ∈R.又|a|＝2，则λ2＋λ2＝4，解得λ＝±，所以a＝(，)或a＝(－，－)，故C错误；对于D，设与a＝(3，4)垂直的单位向量的坐标为(x，y)，则解得或所以与a垂直的单位向量的坐标为或，故D错误．故选ACD.
9. 2　由题意，得|a|＝2，则|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2.
10. 　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，所以2a2＋a·b＝0.设a与b的夹角为θ，则2|a|2＋|a||b|·cos θ＝0.因为a≠0，所以|a|≠0，所以2|a|＋|b|cos θ＝0.又|b|＝4|a|，所以cos θ＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
11. 　－　方法一：由CE＝DE，得＝，则＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝.由题意可知||＝||＝1，·＝0.由F为线段BE上的动点，可设＝k＝k＋k，k∈[0，1]，则＝＋＝＋k＝＋k.又G为AF的中点，则＝＋＝－＋＝(k－1)＋，所以·＝[＋k]·[＋]＝＋k＝－.因为k∈[0，1]，所以当k＝1时，·取到最小值－.
方法二：以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D(－1，1)，E(－，1)，所以＝(－1，0)，＝(0，1)，＝.因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，所以则λ＋μ＝.因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，所以设F(a，－3a)，a∈.又G为AF的中点，则G(，－a)，可得＝(a＋1，－3a)，＝(，－a－1)，所以·＝＋(－3a)(－a－1)＝5－.因为a∈，所以当a＝－时，·取到最小值－.
12. (1) 因为＝(1，－1)，＝(3，1)，＝(m，3)，
所以＝－＝(2，2)，＝－＝(m－1，4).
由A，B，C三点共线，得∥，
则2(m－1)－2×4＝0，解得m＝5.
(2) 由题意，得cos ＝＝＝，
解得m＝1.
(3) 设点D的坐标为(x，y)，
易得＝(2，2)，＝－＝(m－3，2)，＝－＝(x－m，y－3).
若四边形ABCD为矩形，则⊥，＝－.
由·＝2(m－3)＋4＝0，解得m＝1.
由＝－，得
解得x＝－1，y＝1，
故点D的坐标为(－1，1).
13. (1) 若m＝，则＝＝，＝－，
所以＝－＝＋，
两边平方可得||2＝(＋)2＝(||2＋2·＋||2)＝(12＋2×1×2×＋22)＝，
所以EF＝.
(2) 若m＝，则　＝＝，
所以＝－，
则＝＋＝－，
＝＋＝－－，
所以＝－＋，
即x＝－，y＝.
(3) ＝＋＝＋m＝＋m，
＝＋＝＋＝＋，
设＝λ＝＋λ，则＝＋＝＋＋λ＝＋λ.
又∥，所以＝.①
由＝λ，得　＝λ，
所以－＝λ，所以＝(1－λ)，
所以＝(1－λ)＝(1－λ)＝(1－λ)＋.
由＝m，得　＝(1－m)，
则＝，
所以＝(1－λ)＝＋.
又D，F，G三点共线，所以＋＝1，②
联立①②，解得λ＝，m＝，
所以＝＋，
则＝－－，
＝＋＝－－＝－－，
＝－＝－－＝－＋，
所以·＝(－＋)·(－－)＝·＋||2－||2－·＝＋－－＝－.
设与的夹角为θ，
又||2＝(－－)2＝||2＋·＋||2＝＋＋＝，
所以||＝，同理可得||＝，
所以cos θ＝＝－，
即向量与夹角的余弦值为－.

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