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第21章一元二次方程精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A．5 B． C．0 D．2
4．按如图所示的程序计算，则x的值是（　　）
A．4 B．16 C．4或 D．
5．若关于x的一元二次方程两根为，，且，同号，则c可能的值为（ ）
A．5 B． C．0 D．1
6．有一题目：“若，判断关于x的方程的根的情况．”
嘉嘉答：“有两个不相等的实数根．”
淇淇答：“有两个相等的实数根．”
则正确的是（ ）
A．只有嘉嘉答的对 B．只有淇淇答的对
C．嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整 D．嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整
7．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若关于的一元二次方程的解是，则的值（　　）
A． B． C． D．
9．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七文，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．将一元二次方程 化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
11．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是 ．
0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6
12．若一元二次方程的一个根为，则k的值为 ．
13．已知m， n是方程： 的两个根．则 ．
14．已知，是一元二次方程的两个根，且该方程的两根互为倒数，则的值为 ．
15．“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
16．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
18．已知是一元二次方程的实数根，求代数式的值．
19．一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品，目前可以以元的价格售出．如果储藏起来，每星期会损耗，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格将上涨元．那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利元？
20．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长．
21．如图， 在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．

(1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
22．某花卉种植基地计划利用空地新建一个矩形苗圃园种植玫瑰花，如图，其中一面靠院墙，且院墙长度为20米，另外三边搭建围墙．现有的施工材料可建围墙34米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，已知围成的矩形苗圃园与院墙垂直的一边长和与院墙平行的一边长的比为．
(1)求围成的矩形苗圃园的面积；
(2)为了方便浇水，在苗圃园内修建如图所示的3条等宽的鹅卵石小路，使得种植玫瑰花的面积为126平方米，求鹅卵石小路的宽为多少米？
23．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
(1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克．
(2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克，
（i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空）
（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？
《第21章一元二次方程精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C D A C B C C A D
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程即可；
【详解】解：A． 未说明，故A错误；
B． 有两个未知数，
∴不是一元二次方程，故B错误；
C． ，含有1个未知数，最高次数是2，两边都是整式，是一元二次方程，故C正确；
D． 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D错误；
故选∶C．
2．D
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；（3）配方后将原方程化为的形式，然后用直接开平方的方法解方程．
【详解】解：，
在方程两边同时除以，得：，即，
配方，得：，
即．
故选：D．
3．A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握此知识．
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，由是一元二次方程的两个根，则，．
【详解】解：是一元二次方程的两个根，则
故选：A
4．C
【分析】本题考查一元二次方程的求解以及平方根的性质．用到了方程思想，解题关键是根据程序流程列出正确的方程，易错点是求解时，忽略x的负根，只得到．
首先根据程序图的运算流程，明确输入x后，先进行平方运算，再减2，输出结果为14，由此列出方程．然后，通过移项求出的值为16，再根据平方根的性质，一个正数有两个平方根且互为相反数，得出．
【详解】解：由程序图可知：．
．
．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由一元二次方程的判别式可得，由根与系数的关系可得，由此即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，且，同号，
∴，
解得：，
又∵，同号，
∴，即，
综上所述：，
∴可能的值为，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据题意，先求出k的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵，
∴，
解得：，
∵关于x的方程为，
则，
又∵，
∴，
则此方程有两个实数根，
显然只有C选项符合题意．
故选：C
7．C
【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则和的解是方程的根，即是方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得．
【详解】解：∵的根都是整数，
∴①当时，原方程为，
解得，；
②当时，原方程可整理为：，
则或，
即是方程的整数根，且x是整数，
则或，
解得，，，，，
综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，共5个；
故选：C．
8．A
【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，即使方程成立的未知数的值．根据题意，一元二次方程有一个根为，即时，成立，将代入可得答案．
【详解】解：一元二次方程的解是，
，
则，
所以.
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可．
【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文，
根据题意，得．
故选：D．
10． 1
【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键．
先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．
【详解】解：
，
所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是．
故答案为：1；；．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是正确理解方程的解是使方程左右两边相等的x的值；先把一元二次方程变形，进而即可得到答案；
【详解】解：，
变形可得：，
根据表格可知∶当或时，，
∴的解为，
即的解是；
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查一元二次方程解的定义，解题的关键是正确的计算；把一元二次方程的根代入方程求出k即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
解得：，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根定义和根与系数关系，解题的关键是把要求的式子进行正确的变形；先根据根的定义把m代入方程，再根据根与系数的关系得到m和n的关系，把要求的式子进行变形即可得到答案；
【详解】解：由题意可得：，
∴
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，倒数，解一元一次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，．
根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据已知条件“该方程的两根互为倒数”可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：，
又该方程的两根互为倒数，即：，
，
解得：，
15．12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
16．，/，
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程 ，整理成的形式，根据方程的解是，，可知方程的解是，，从而求出方程的解．
【详解】解：，
整理得：，
方程的解是，，
方程的解是，，
解得：，．
故答案为：， ．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法；
（1）根据因式分解中的提公因式法解题即可；
（2）运用十字相乘法分解因式即可；
【详解】（1）解：，
，
，
∴；
（2）解：，
，
∴，
∴．
18．
【分析】先根据一元二次方程根的意义得出，再将分式化简，然后不断地将代入，最终得出结果．
【详解】解：∵是一元二次方程的实数根，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，一元二次方程根的意义，分式的混合运算，分式的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
19．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设储藏个星期出售这批农产品可获利元，则需要支付费用元，损失吨，价格为元，根据“获利元”列方程求解．解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【详解】解：设储藏个星期出售这批农产品可获利元，
依题意，得：，
解得：，
答：储藏个星期出售这批农产品可获利元．
20．(1)见解析
(2)或
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件：
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，
解得，，
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为1，3，3，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴的周长为；
当时，解得，，
此时等腰三角形三边分别为3，3，5，
，
∴此时能构成三角形，
，
∴的周长为；
综上可知，的周长为或．
21．(1)t值为2；
(2)t的值为2；
【分析】本题主要考查了勾股定理和一元二次方程的解法，解决此题的关键是正确计算；
先根据矩形的性质得到直角，再根据勾股定理列出一元二次方程，解方程即可；
【详解】（1）解：令的长度能为，
由题意可得：，，，
根据勾股定理可得：，
解得：（舍去负值），
故的长度能为，此时t值为2；
（2）解：令的面积能为 ，
由题可知：，，，，
∵,
∴，
解得：（不合题意舍去），
∴的面积能为 ，t的值为2；
22．(1)苗圃园的面积为160平方米
(2)小路的宽为1米
【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程在实际问题中的应用，找准等量关系列出方程是解题关键．
（1）根据矩形边长的比例关系设未知数，结合围墙长度和门的宽度列出方程，求出矩形的长和宽，进而计算面积；
（2）把种植玫瑰花的区域看作一个新的矩形，根据其面积列出一元二次方程，求解得出鹅卵石小路的宽度．
【详解】（1）设与院墙垂直的一边长为米，则与院墙平行的一边长为米，且，
即，
由题意，得，解得，
与院墙垂直的一边长为10米，与院墙平行的一边长为16米，
围成的矩形苗圃园的面积为平方米；
（2）设小路的宽为米，由题意，得，
整理，得，解得(舍去)，，
鹅卵石小路的宽为1米．
23．(1)28
(2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键．
（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（重复利用率），代入数据计算即可；
（2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，（千克），
答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.
（2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为.
（ii）由题意可得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克．
∴.
答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克．
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