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第22章二次函数精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　）
x … 1 3 5 …
y … 7 0 7 …
A．0 B．3 C． D．5
3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．y有最小值是3
C．对称轴是直线 D．当时，y随x增大而增大
4．已知点D与点，，是一平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（ ）
A． B． C．13 D．12 E．
5．二次函数的图象与x轴交点为，则方程的解是（ 　）
A． B．
C． D．
6．在平面直角坐标系中，有抛物线，则该抛物线的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于x轴对称，则抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图像上的两点，则，其中正确的是（　　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
9．已知是二次函数，则实数 ．
10．抛物线的对称轴是直线 ．
11．二次函数的最大值是 ，最小值是 ．
12．若点是二次函数 图象上的两点，那么与的大小关系是 ．(填、或)
13．关于的不等式组有解，则关于的二次函数
的顶点所在象限是 ．
14．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
15．已知抛物线，若点，在抛物线上，均有，则的最大值与最小值的和为 ．
16．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ．
三、解答题
17．设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若，
求二次函数的表达式；
求的值．
(2)若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向．
18．已知二次函数，一次函数
(1)求函数与的交点坐标；
(2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
19．已知二次函数．
(1)将配方得_____；
(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）；
(3)当x为 时，；
(4)时，直接写出y的取值范围是 ；
(5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ．
20．已知二次函数（m为常数）．
(1)若点在该函数图像上，则 ；
(2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式．
(2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值．
(3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机、通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）、飞行高度y（单位：）随飞行时间t（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8
飞行水平距离 0 10 20 30 40
飞行高度 0 22 40 54 64
探究发现x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于 t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下列问题
（1）若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域，，若飞机落到内（不包括端点 M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
《第22章二次函数精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D A D A D A
1．D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
根据二次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A. ，分母有未知数，不是二次函数；
B. ，不是整式，不是二次函数；
C. ，是一次函数，不是二次函数；
D. ，是二次函数；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据推出二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可．
【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，，
二次函数的对称轴为直线，
，，
与的函数值相同，
那么时，对应的函数值y为0，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可．
【详解】解：二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故B错误；
根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误；
∵对称轴为，且开口向下，
∴当时，y随x增大而增大，故D正确；
故选：D ．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的最值的应用，平行四边形性质，解题的关键是利用分类讨论思想解答．
分两种情况：若为一边，若为对角线，结合平行四边形的性质以及二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
若为一边，此时；
若为对角线，此时和互相平分，
设点D的坐标为，
∵，，，
∴，
解得：，
∴D的坐标为，
∴，
∵，
∴该二次函数开口向上，当时，取得最小值，为，
即此时的最小值为；
∵，
∴，
∴长的最小值为．
故选：A
5．D
【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，得到二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称是解题的关键．根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点的横坐标求得即可解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为，
∴二次函数的图象与二次函数的图象关于y轴对称，
∵二次函数的图象与x轴交点为，
∴二次函数的图象与x轴交点为，
∴方程的解是，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：由，则，异号，，同号，
、根据图象可知，，，，
∴，
∴满足，异号，，同号，符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，异号，，同号，不符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，同号，不符合题意；
、根据图象可知，，，，
∴，
∴不满足，同号，不符合题意；
故选：．
7．D
【分析】该题目主要考查二次函数的平移及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式．
【详解】解：∵拋物线，
∴抛物线的顶点为，
∵向左平移2个单位长度，得到抛物线，
∴拋物线的顶点坐标为，
∵拋物线与抛物线关于轴对称，
∴抛物线的开口方向向下，顶点为，
∴抛物线的解析式为，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，由二次函数的开口方向、对称轴和与轴的交点位置可得，，，即可判断①；由抛物线与轴的交点个数可判断②；由二次函数的图象和性质可判断③和④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴是直线，开口向下，
∴当时，的值最大，即，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∵，
∴，故④错误；
综上，正确的是①②③，
故选：．
9．
【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义可得且，即可求解．
【详解】解：∵是二次函数，
∴且，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键．
直接根据顶点式的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴对称轴是直线．
故答案为：．
11． 16
【分析】本题考查二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质．
先求出对称轴为，顶点坐标，由判断出函数的增减性，再结合给定的t的取值范围，分别求出、和时的函数值，通过比较确定函数的最值．
【详解】
∴该二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为．
时，S随的增大而增大，时，S随的增大而减小，
在内，
当时，S取得最大值，最大值为16．
当时，；
当时，．
∵，
∴的最小值为．
故答案为：16，．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键．
分别将、代入计算即可判断大小关系．
【详解】解：将代入，得：
，
将代入，得：
，
∵，
∴，
故答案为：．
13．第三象限
【分析】此题考查了解不等式组和二次函数的图像和性质，求出不等式组的解集，根据不等式组有解．先求出不等式组的解集，得到a的范围，求出二次函数的顶点的横坐标和纵坐标，即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集是，
∴，
解得，
∴二次函数的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为，
∴关于的二次函数的顶点所在象限是第三象限，
故答案为：第三象限
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值．
【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为，
，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，对称轴是直线，即得到抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大，进而得到，解不等式求出的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越小，函数值越大，
∵点，在抛物线上，均有，
∴，
即，
∴，
∴，
∴的最大值与最小值分别为和，
∴的最大值与最小值的和是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，，
∴，
∴．
故答案为：．
17．(1)①；②3
(2)开口向下
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入中求解即可；
（2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可．
【详解】（1）解：①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是；
②∵，，
∴；
（2）解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，和关于对称轴对称，则，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，
即该二次函数图象的开口向下．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
18．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键．
（1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可；
（2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可．
【详解】（1）解：联立与，
，
整理可得：，解得：，，
当时，代入，可得，
当时，代入，可得，
函数与的交点坐标为和；
（2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即，
可得不等式，
整理得：，
可得，
解得：，
当时，一次函数的值大于二次函数的值．
19．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象；
（1）根据配方法化为顶点式，即可求解；
（2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可求解；
（3）根据函数图象可得时，，
（4）结合函数图象，当时，得出的范围；
（5）根据时，函数y的取值范围为，令，得出，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：如图所示，
（3）解：根据函数图象可得，当时，，
故答案为：．
（4）解：根据函数图象可得当时，，
当时，取得最大值为，
∴当，y的取值范围是；
故答案为：．
（5）解：∵当时，函数y的取值范围为，
当时，，
当时，，
当时，
解得：或（舍去）
则a的值为，
故答案为：．
20．(1)2
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入，解关于m的方程即可；
（2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况；
（3）根据二次函数的对称轴和单调性，确定p的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：，
解得，
故答案为：2；
（2）解：，
，
，
，
该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点；
（3）解：的对称轴为直线，
二次项系数，
二次函数图像开口向上，
，
点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，
，
即，
或．
21．(1)
(2)的最大值为，此时点的坐标为
(3)点Q的坐标为或或
【分析】（1）将，，坐标代入解析式，建立方程组，求解即可；
（2）过点P作轴交于点N，设P的横坐标为t，则可表示点P和点N的坐标，表示的面积，利用二次函数的性质求出最值；
（3）利用平移先求出，联立可求出点E的坐标，然后分情况讨论，当为边时，当为对角线时两种情况，利用点的平移求解即可．
【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：如图1，点P作轴交于点N，，
设P的横坐标为t，
∴，
设直线的解析式为，
把，坐标代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为，此时点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
∵抛物线y的解析式为：，
∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，
∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0，
令，
解得，
∴，
由（2）知点P的坐标为，
当以为平行四边形的一条边时：或．
∴或，
解得：或，
∴点Q的坐标分别为或．
当以为平行四边形的对角线时：，
∴，
解得：，
∴．
综上可知，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键．
22．探究发现：；问题解决：（1）飞机落到安全线时飞行的水平距离为；（2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
探究发现：由表格可知，飞行时间每增加，水平距离增加，据此可求出x与t的函数关系；由图可得，飞机的飞行轨迹类似于抛物线，据此利用待定系数法可求出y与t的函数关系；
（1）根据探究发现求出的y与t的函数关系，求出y的值为0时t的值，进而求出此时x的值即可得到答案；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度
根据的长度可得x的取值范围，进而可得t的取值范围，再求出对应t的值和的值为0的条件下n的值即可得到答案．
【详解】解：探究发现：由表格可知，飞行时间每增加，水平距离增加，
∴；
由图可得，飞机的飞行轨迹类似于抛物线，
∴可设，
∴ ，
∴，
∴；
问题解决：（1）在中，当时，
解得（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度
，
∴，
∴，
在中，当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
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