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湖北省襄阳市第三十一中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试题
1．（2024九上·襄阳期中）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·襄阳期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·襄阳期中）将方程 配方后，原方程变形为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·襄阳期中）下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024九上·襄阳期中）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于(　　)
A． B． C． D．
6．（2024九上·襄阳期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·襄阳期中）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2024九上·襄阳期中）已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（　　）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
9．（2024九上·襄阳期中）如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·襄阳期中）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024九上·襄阳期中）已知一元二次方程的一个根为，则c的值为　 　．
12．（2024九上·襄阳期中）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是　 　．
13．（2024九上·襄阳期中）已知二次函数的图象与x轴无公共点，则m的取值范围是　 　．
14．（2024九上·襄阳期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是　 　m．
15．（2024九上·襄阳期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为　 　．
16．（2024九上·襄阳期中）解方程：
（1）；
（2）．
17．（2024九上·襄阳期中）关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．
18．（2024九上·襄阳期中）如图，已知二次函数图象的顶点为，且过．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）．
19．（2024九上·襄阳期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
20．（2024九上·襄阳期中）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标．
21．（2024九上·襄阳期中）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，，求的半径．
22．（2024九上·襄阳期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
（1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ；
（2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
23．（2024九上·襄阳期中）如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转得到．
（1）观察猜想：如图1，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究实践：如图2，连接，若，，，求的度数．
（3）拓展延伸：如图3，A，P，Q三点在一条直线上，若，，请求出的长度．
24．（2024九上·襄阳期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；
（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项ACD不能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故ACD不是中心对称图形，选项B能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故B是中心对称图形，
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此得到答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故不符合题意；
B、方程去括号得：2x2-2x=2x2+3，
整理得：-2x=3，为一元一次方程，故不符合题意；
C、3x+ =4是分式方程，故不符合题意；
D、x2-2=0，符合一元二次方程的形式，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个方程化为一般形式后，如果只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】在等式左边加1减1，移项得到答案。
4．【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论；圆的对称性
【解析】【解答】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，说法正确．
因此说法正确的有2个.
故答案为：B．
【分析】
根据圆中弦的定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据圆周角定理可判断⑤；逐一判断即可解答．
5．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
而，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】
连接，根据已知可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由，可得，等量代换可得，进而根据三角形的外角的性质可得，计算即可解答．
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出张照片.
又∵是互送照片，
∴．
故答案为：C．
【分析】
先分析若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意列出方程即可解答．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，
∴，
∴，故①不正确；
②、根据图象可知，当时，，故②不正确；
④、∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵时函数取得最小值，
∴，
∴，故④正确
∴有2个结论正确
故答案为：D．
【分析】
该二次函数的图象的对称轴为则，由图像可知，，即可判断①；根据图象可知当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据时函数取得最小值即可判断④，解答即可．
8．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：连结OA，如图，设O的半径为R，
∵CD⊥AB，
∴∠APO=90°，在Rt△OAP中，∵OP=OD PD=r 2，OA=r，AP=4，
∴(r 2)2+42=r2，解得r=5，即O的半径为5cm.
故答案为：B.
【分析】
连结OA，如图，设 O的半径为R，由垂径定理得到∠APO=90°，在Rt△OAP中根据勾股定理得（r-2）2+42=r2，然后解方程求出r即可解答．
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵将绕顶点顺时针旋转，得到．
∴，旋转角，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：A
【分析】
根据旋转的性质可得，旋转角，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由得由旋转的性质可得，解答即可．
10．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：，，
二次函数经过坐标原点，故B、C选项错误；
A、根据二次函数开口向上，对称轴，
所以，，
一次函数经过第一三象限，，与轴负半轴相交，
所以，，符合，故A正确；
D、二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限，，矛盾，故D错误．
故答案为：A．
【分析】
根据二次函数的值为0，确定二次函数图象经过坐标原点可判断B、C；再根据值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限可判断A；再根据二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限与矛盾可判断D；逐一判断即可解答．
11．【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次方程；一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入得：
，
即，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程解的定义将代入计算求解即可解答．
12．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点绕原点旋转后所得点与点A关于坐标原点对称，
∴所得的点的横坐标为3，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
根据绕原点旋转后两点关于原点对称，再根据关于坐标原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，解答即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴没有公共点，
，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数和一元二次方程的关系：当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点因而只需计算并列式，解答即可．
14．【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：
当时，得：，
解得：，（舍去），
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是，
故答案为：10.
【分析】令，则有，求出x值即可解题.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，、之间的距离为或，
故答案为：或．
【分析】
由于弦AB与CD的位置不确定，因此可分两种情况讨论，即两弦在圆心同侧或两侧，再分别过圆心向两弦作垂线段，再利用垂径定理和勾股定理分别计算即可．
16．【答案】（1）解：，整理，得：，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，．
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解即可解答；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解即可解答．
（1）解：，
整理，得：，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，．
17．【答案】（1）解：∵关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根根据题意得，
解得．
（2）解：存在，根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根，≥0，代入计算求出k的取值范围，解答即可；
（2）根据根与系数的关系得，，根据题意列出等式求出k的值，再根据k的取值范围内做出判断，即可解答．
（1）解：∵关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根
根据题意得，
解得．
（2）解：存在．
根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
18．【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为，设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（2）当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）根据顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入计算即可求解；
（2）先求得时与时的函数值，结合函数图象写出的取值范围 ，即可求解．
（1）解：∵二次函数图象的顶点为，
设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
19．【答案】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人）．
答：预计10月份的参观人数为万人．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据9月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可解答；
（2）利用10月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），计算即可解答．
20．【答案】（1）解：如图，为所求作的三角形；
，
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：根据图可知，，；
故答案为：，.
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
【分析】（1）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1和C1的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）利用中心对称图形的定义及性质分析求解即可.
（1）解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，；
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
21．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的弦，半径，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即D为的中点；
（2）解：如图，连接．
∵半径，垂足为H，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；线段的中点；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可解答；
（2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可解答．
（1）证明：如图，连接．
∵是的弦，半径，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即D为的中点；
（2）解：如图，连接．
∵半径，垂足为H，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
即的半径为．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，（元）；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：（1）
，
故答案：；
【分析】
（1）根据销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，列出函数关系式，化简即可求解；
（2）根据每件所获利润日销售量元，列方程为，计算并舍去不符合条件的值，即可求解；
（3）设日销售利润为元，根据日销售利润每件所获利润日销售量得到，转化为顶点式再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：
，
故答案：；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，（元）；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
23．【答案】（1），
（2）解：连接
由旋转性质可得：，，
∴，，
由得：
∴，，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：作于．则，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】最简二次根式；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，延长交分别于点，
∵将绕点顺时针方向旋转得到，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：，.
【分析】
（1）延长交分别于点，根据旋转的性质以及正方形的性质可得，，则，，进而根据三角形内角和定理，可得，即可得出，解答即可；
（2）连接，由旋转性质可得：，，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而即可求解；
（3）①当点在正方形内时，作于．勾股定理求得，根据，②当点在正方形外时，根据即可求解．
（1）解：如图所示，延长交分别于点，
∵将绕点顺时针方向旋转得到，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）连接
由旋转性质可得：，，
∴，，
由得：
∴，，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）作于．则，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
24．【答案】（1）解：由题意，把，代入抛物线，得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的函数表达式为．把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
（3）解：①当点位于轴上方时．如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】
（1）运用待定系数法把，代入抛物线求解即可；
（2）运用待定系数法求出直线的函数表达式为，设，求出，得到转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点位于轴上方：根据等腰直角三角形的性质利用AAS判定，即可得到代入抛物线的解析式求解即可；点位于轴下方时同理计算求解即可．
（1）解：由题意，把，代入抛物线，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的函数表达式为．
把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
（3）解：①当点位于轴上方时．
如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
1 / 1湖北省襄阳市第三十一中学2024—2025学年上学期九年级数学期中考试题
1．（2024九上·襄阳期中）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项ACD不能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故ACD不是中心对称图形，选项B能在平面上找到一个点，使图形绕某该点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，故B是中心对称图形，
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此得到答案.
2．（2024九上·襄阳期中）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、x+2y=1是二元一次方程，故不符合题意；
B、方程去括号得：2x2-2x=2x2+3，
整理得：-2x=3，为一元一次方程，故不符合题意；
C、3x+ =4是分式方程，故不符合题意；
D、x2-2=0，符合一元二次方程的形式，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】将一个方程化为一般形式后，如果只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2024九上·襄阳期中）将方程 配方后，原方程变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程变形得： ，
配方得： ，
即 ，
故答案为：C．
【分析】在等式左边加1减1，移项得到答案。
4．（2024九上·襄阳期中）下列语句中：①直径是弦，弦是直径；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧度数相等．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆的相关概念；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；垂径定理的推论；圆的对称性
【解析】【解答】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，原说法错误；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，符合圆的性质，说法正确；
⑤相等的圆心角所对的弧度数相等，说法正确．
因此说法正确的有2个.
故答案为：B．
【分析】
根据圆中弦的定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据圆心角、弧、弦的关系可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据圆周角定理可判断⑤；逐一判断即可解答．
5．（2024九上·襄阳期中）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；圆的相关概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
而，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】
连接，根据已知可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由，可得，等量代换可得，进而根据三角形的外角的性质可得，计算即可解答．
6．（2024九上·襄阳期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出张照片.
又∵是互送照片，
∴．
故答案为：C．
【分析】
先分析若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意列出方程即可解答．
7．（2024九上·襄阳期中）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；数形结合
【解析】【解答】解：①、∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为，
∴，
∴，
由图像可知，，
∴，
∴，故①不正确；
②、根据图象可知，当时，，故②不正确；
④、∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故结论③正确；
∵时函数取得最小值，
∴，
∴，故④正确
∴有2个结论正确
故答案为：D．
【分析】
该二次函数的图象的对称轴为则，由图像可知，，即可判断①；根据图象可知当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据时函数取得最小值即可判断④，解答即可．
8．（2024九上·襄阳期中）已知：如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（　　）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：连结OA，如图，设O的半径为R，
∵CD⊥AB，
∴∠APO=90°，在Rt△OAP中，∵OP=OD PD=r 2，OA=r，AP=4，
∴(r 2)2+42=r2，解得r=5，即O的半径为5cm.
故答案为：B.
【分析】
连结OA，如图，设 O的半径为R，由垂径定理得到∠APO=90°，在Rt△OAP中根据勾股定理得（r-2）2+42=r2，然后解方程求出r即可解答．
9．（2024九上·襄阳期中）如图，在中，将绕顶点顺时针旋转，得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵将绕顶点顺时针旋转，得到．
∴，旋转角，
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：A
【分析】
根据旋转的性质可得，旋转角，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由得由旋转的性质可得，解答即可．
10．（2024九上·襄阳期中）在同一坐标系中，函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：，，
二次函数经过坐标原点，故B、C选项错误；
A、根据二次函数开口向上，对称轴，
所以，，
一次函数经过第一三象限，，与轴负半轴相交，
所以，，符合，故A正确；
D、二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限，，矛盾，故D错误．
故答案为：A．
【分析】
根据二次函数的值为0，确定二次函数图象经过坐标原点可判断B、C；再根据值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限可判断A；再根据二次函数图象开口向下，，一次函数经过第一三象限与矛盾可判断D；逐一判断即可解答．
11．（2024九上·襄阳期中）已知一元二次方程的一个根为，则c的值为　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的混合运算；解一元一次方程；一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入得：
，
即，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程解的定义将代入计算求解即可解答．
12．（2024九上·襄阳期中）在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：∵点绕原点旋转后所得点与点A关于坐标原点对称，
∴所得的点的横坐标为3，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
根据绕原点旋转后两点关于原点对称，再根据关于坐标原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，解答即可．
13．（2024九上·襄阳期中）已知二次函数的图象与x轴无公共点，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴没有公共点，
，即，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据二次函数和一元二次方程的关系：当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点因而只需计算并列式，解答即可．
14．（2024九上·襄阳期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度和运动员出手点的水平距离之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是　 　m．
【答案】10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：
当时，得：，
解得：，（舍去），
即铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是，
故答案为：10.
【分析】令，则有，求出x值即可解题.
15．（2024九上·襄阳期中）已知的半径为，弦，，，则、之间的距离为　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
如图：当弦和在圆心异侧时，作于，交于，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵的半径为，
∴，
∴，，
∴；
综上所述，、之间的距离为或，
故答案为：或．
【分析】
由于弦AB与CD的位置不确定，因此可分两种情况讨论，即两弦在圆心同侧或两侧，再分别过圆心向两弦作垂线段，再利用垂径定理和勾股定理分别计算即可．
16．（2024九上·襄阳期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，整理，得：，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，．
【知识点】解一元一次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）先整理成一般式，再利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解即可解答；
（2）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解即可解答．
（1）解：，
整理，得：，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，．
17．（2024九上·襄阳期中）关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根 x1，x2．
（1）求 k 的取值范围；
（2）请问是否存在实数 k，使得 x1+x2＝1﹣x1x2 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由．
【答案】（1）解：∵关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根根据题意得，
解得．
（2）解：存在，根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根，≥0，代入计算求出k的取值范围，解答即可；
（2）根据根与系数的关系得，，根据题意列出等式求出k的值，再根据k的取值范围内做出判断，即可解答．
（1）解：∵关于 x 的方程 x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0 有两个实数根
根据题意得，
解得．
（2）解：存在．
根据根与系数关系，，
∵x1+x2＝1﹣x1x2，
∴，
解得，
∵．
∴存在实数k=-3，使得x1+x2＝1﹣x1x2．
18．（2024九上·襄阳期中）如图，已知二次函数图象的顶点为，且过．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）观察图象，当时，的取值范围为_____(直接写出答案）．
【答案】（1）解：∵二次函数图象的顶点为，设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（2）当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
【分析】
（1）根据顶点坐标为设二次函数的解析式为，将代入计算即可求解；
（2）先求得时与时的函数值，结合函数图象写出的取值范围 ，即可求解．
（1）解：∵二次函数图象的顶点为，
设二次函数的解析式为
∵过点，
∴
解得：，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：当时，，
解得：或
当时，
解得：或
观察函数图象可得当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
19．（2024九上·襄阳期中）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，传承红色基因”主题教育学习活动，井冈山是此次活动重要的研学活动基地．据了解，今年7月份该基地接待参观人数100万，9月份接待参观人数增加到121万．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率．
（2）按照这个增长率，预计10月份的参观人数是多少？
【答案】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人）．
答：预计10月份的参观人数为万人．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据9月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可解答；
（2）利用10月份该基地接待参观人数等于月份该基地接待参观人数（增长率），计算即可解答．
20．（2024九上·襄阳期中）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标．
【答案】（1）解：如图，为所求作的三角形；
，
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：根据图可知，，；
故答案为：，.
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
【分析】（1）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接并直接求出点A1和C1的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）利用中心对称图形的定义及性质分析求解即可.
（1）解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，；
（2）解：如图，为所求作的三角形；
（3）解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
21．（2024九上·襄阳期中）如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C．
（1）求证：D是的中点；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的弦，半径，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即D为的中点；
（2）解：如图，连接．
∵半径，垂足为H，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
即的半径为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；线段的中点；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可解答；
（2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可解答．
（1）证明：如图，连接．
∵是的弦，半径，
∴D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即D为的中点；
（2）解：如图，连接．
∵半径，垂足为H，，
∴，
∵D是的中点，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
即的半径为．
22．（2024九上·襄阳期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某旅游商店以每件50元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，日销售量就会增加20件．
（1）设定价为x元，日销售量为y件．试用含x的式子表示y， ；
（2）当该吉祥物售价为多少元时，日销售利润达7500元？
（3）请你测算一下，该商场如何定价，可使日销售利润最多？
【答案】（1）
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，（元）；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：（1）
，
故答案：；
【分析】
（1）根据销售量降价前每日销售量降价所增加的销售量，列出函数关系式，化简即可求解；
（2）根据每件所获利润日销售量元，列方程为，计算并舍去不符合条件的值，即可求解；
（3）设日销售利润为元，根据日销售利润每件所获利润日销售量得到，转化为顶点式再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：
，
故答案：；
（2）解：由题意得
，
整理得：，
解得：，，
降价促销，
舍去
，
答：该吉祥物售价为元时，日销售利润达7500元．
（3）解：设日销售利润为元，由题意得
，
，
当时，（元）；
答：每件售价为元时，可使日销售利润最多．
23．（2024九上·襄阳期中）如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转得到．
（1）观察猜想：如图1，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究实践：如图2，连接，若，，，求的度数．
（3）拓展延伸：如图3，A，P，Q三点在一条直线上，若，，请求出的长度．
【答案】（1），
（2）解：连接
由旋转性质可得：，，
∴，，
由得：
∴，，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：作于．则，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】最简二次根式；正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，延长交分别于点，
∵将绕点顺时针方向旋转得到，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：，.
【分析】
（1）延长交分别于点，根据旋转的性质以及正方形的性质可得，，则，，进而根据三角形内角和定理，可得，即可得出，解答即可；
（2）连接，由旋转性质可得：，，勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即，进而即可求解；
（3）①当点在正方形内时，作于．勾股定理求得，根据，②当点在正方形外时，根据即可求解．
（1）解：如图所示，延长交分别于点，
∵将绕点顺时针方向旋转得到，四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）连接
由旋转性质可得：，，
∴，，
由得：
∴，，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）作于．则，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
24．（2024九上·襄阳期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴交直线于点，求的最大值；
（3）若点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，把，代入抛物线，得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的函数表达式为．把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
（3）解：①当点位于轴上方时．如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】
（1）运用待定系数法把，代入抛物线求解即可；
（2）运用待定系数法求出直线的函数表达式为，设，求出，得到转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分点位于轴上方：根据等腰直角三角形的性质利用AAS判定，即可得到代入抛物线的解析式求解即可；点位于轴下方时同理计算求解即可．
（1）解：由题意，把，代入抛物线，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为．
（2）解：设直线的函数表达式为．
把，代入，得
解得
∴直线的函数表达式为．
设．
∵轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，有最大值．
（3）解：①当点位于轴上方时．
如图1，过点作垂直对称轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，
则．
∵为等腰直角三角形，且，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∴，
∴，．
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
设点的坐标为，此时，则，
∴．
∵点在抛物线上，
∴，
解得，（舍去），
∴点的坐标为；
②当点位于轴下方时．
如图2，设点的坐标为，此时，
同理得，则有，
解得，（舍去），
∴点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
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