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安徽省阜阳市临泉县第二中学2025-2026学年高一上学期开学考
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知三个实数满足，且，则下列结论错误的是（ ）
.若，则 .若，则
.若,则 .若，则
2.已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（ ）
. . . .
3.某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）
.身高在区间的男生比女生多3人
.组中男生和女生占比相同
.超过一半的男生身高在以上
.女生身高在组的人数有2人
4.如图，在中，，，，为边上一动点，，连接，则的最小值为（ ）
. . . .
5.定义：平面直角坐标系中，若点到轴，轴的距离和为2，则称点为“和二点”.例如：点到轴，轴的距离和为2，则点是“和二点”，点，也是“和二点”.一次函数的图象经过点，且图象上存在“和二点”，则的取值范围为（ ）
. . . .
6.如图，在平面直角坐标系中，等边的边经过原点，且顶点，都在的图像上，顶点在的图象上，则的值为（ ）
. .
. .
7.如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（ ）
. .
. .
8.我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）.刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完整的算法.如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为弧的中点，连接，交于点，若，则的长为（ ）
. .
. .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题中，正确的是（ ）
.“”是“”的充分不必要条件
.“”是“”的必要不充分条件
.“”是“”的充要条件
.“”是“”的必要不充分条件
10.设正实数满足，则（ ）
.有最大值为1 .有最小值为4
.有最小值为5 .有最大值为
11.若集合具有以下性质：①，；②若，则，且当时，.则称集合是“完美集”.下列说法正确的有（ ）
.集合是“完美集”
.有理数集是“完美集”
.对任意的一个“完美集”，若，则
.对任意的一个“完美集”，若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.关于的方程的解集中只含有一个元素，则的所有可能值组成的集合是
.
13.已知（其中为正整数，且），则 .
14.如图，在正方体中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，过点作分别交于点，请完成下列问题：
（1） ； （2）若，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图，点在同一平面内，点在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为22°，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为42°，求博学楼的高度.（参考数据：，，，，，）
16.（15分）“试根法”是一种常见的数学方法可以应用于分解因式、多项式的除法等运算，其算法如下：对于多项式，令时， ，则必有一个因式是，且可以分解为，对于多项式，令时，，则必有一个因式是，且可以分解为.
（1）分解因式：（当时，原式为0）（方法任意）；
（2）已知多项式既能被整除，又能被整除，求的值（方法任意）.
17.（15分）若实数满足，则称比更远离.
（1）若比更远离1，求实数的取值范围；
（2）判断是比更远离的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件），并加以证明；
（3）已知，，若，证明：比更远离.
18.（17分）将的顶点放在半圆上，现从与半圆相切于点（如图1）的位置开始，将绕着点顺时针旋转，设旋转角，旋转过程中，与半圆的另一交点记为，与半圆的另一交点记为，连接（如图2）.已知，，，半圆的直径为8.
（1）嘉嘉认为：在旋转过程中，弦的长度不变；琪琪认为：弦的长度随点的运动而发生变化.请你分析他俩谁说的对，并说明理由；
（2）当点与点重合时，如图3.
①判断与半圆的位置关系，并说明；
②求图中阴影部分的面积和；
（3）设的中点为，直接写出点的运动路径长.
19.（17分）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中是方程的两个根，抛物线于轴相交于点.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）已知直线与轴分别相交于点.
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
②过抛物线上一点作直线的平行线，与抛物线相交于另一点，设直线相交于点，连接.求线段的最小值.
答案解析
一、选择题
1.D 解析：对于A，若，则，即，故A正确；
对于B，当时，，代入得，即，整理得，故B正确；
对于C，由得，∵，∴，即，
∵，∴，故C正确；
对于D，若，由得，解得或，故D错误.
2.A 解析：，∴，
∴，共3个元素，∴的非空真子集的个数为.
3.D 解析：抽取的男生总人数为（人），
∵抽取的样本中，男生、女生人数相同，∴抽取的女生总人数为40人，
由直方图可知，身高在区间的男生认识为12人，
由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），
则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；
组中男生和女生占比不相同，选项B错误；
男生身高在以上的占比为，选项C错误；
女生中组的人数为（人），选项D正确.
4.A 解析：如图，作平分，作，
连接交于，
∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∴，，∴,∴，
∴，又为边上一动点，即点在与成60°夹角的射线上运动，的最小值为到的垂线段的长度，即的最小值为的长.
∵，∴，，，∴，
即的最小值为.
5.D 解析：取，连接，在上取点，作 轴，轴，垂足分别为，，
∵，
∴均为等腰直角三角形，
∴，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
∴点是“和二点”，
即线上的点为“和二点”，
同理线上的点为“和二点”，
∴当一次函数的图象与线或线有交点时，
一次函数的图象上存在“和二点”，
∵一次函数的图象经过点，∴，
解得，∴一次函数解析式为，
当一次函数的图象经过点时，∴，解得，
当一次函数的图象经过点时，∴，解得，
∴的取值范围为：.
6.C 解析：连接，作轴，轴于点，
∵关于原点成中心对称，我等边三角形，
∴，，平分，
∴，
∵，∴，
又∵，∴，
∵平分，为等边三角形，∴，
∴，∴，
∵点在函数的图象上，∴，∴，
∵，∴.
7.A 解析：∵抛物线与轴交于两点，
∴令，即或，∴，
∵在抛物线的对称轴上，∴，对称轴：直线，
∴为等腰直角三角形，设，∴，
∴，解得：，
如图点在第三象限，∴，∵，∴，∴，
∴过点作,∴，
即，解得，
∴，
∴.
8.A 解析：如图，设正六边形的外接圆的圆心为，
连接，
∵，
∴，，
∴圆心在上，∵点为弧的中点，∴，
∵，∴，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，
∴，作交于点，则，
∴，∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，∴，∴。
∴.
二、选择题
9.AB 解析：对于A，由可以推出，反之不可以，故A正确；
对于B，由推不出，反之可以，故B正确；
对于C，由可以推出，反之不可以，故C错误；
对于D，由题意知是的子集，∴可以推出，反之不可以，故D错误.
10.ACD 解析：对于A，由基本不等式，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，由A，，
则，即最小值为2，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即，时取等号，故C正确；
对于D，，
又，当且仅当，即，时取等号，则，即，有最大值为.
11.BCD 解析：对于A，∵,，但是，∴不是“完美集”，故A错误；
对于B，有理数集满足“完美集”的定义，故B正确；
对于C，∵，∴，∴，故C正确；
对于D，任取，当中有或时，显然，当均不为，时，∵，∴，∴，∴，由选项C可得，同理可得，则，，
∴，∴，∴，∴，
∴，故D正确.
三、填空题
12. 解析：由方程可知，解得且，
方程可化简为，
若的解集中只含有一个元素，则有以下三种情况：
①方程有且仅有两个相等且不为0和1的解，
∴，解得，此时的解为，满足题意；
②方程有两个不相等的实根，其中一个根为0，另一根不为1，
由得，
∴，此时方程的另一根为，满足题意；
③方程有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0，
由得，
∴，此时方程的另一根为，满足题意，
综上所述：或1或3，即的所有可能值组成的集合是.
13. 解析：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
14.（1）45°；（2） 解析：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
在和中，，∴，
∴，
∴，
（2）过点作于，如图：
∵，∴，∴，
在和中，，
∴，∴，，
∵，，∴，
∴，∵，∴，
设，∴，∴,∴，
∴，∴，∴，∴，
∴.
四、解答题
15.解：（1）过点作于点，
由题意得：，，，
，
∵，∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，∴,
∴设，，
则，，
在中，∵，∴，解得：，
∴.
16.解：（1）∵当时，，∴必有一个因式，
∴设，
∴，
比较同列项的系数得：，解得，∴.
（2）∵多项式既能被整除，又能被整除，
∴多项式必有因式和，
∴当或时，，
∴，解得.
17.解：（1）由题意可得，即，解得，
∴实数的取值范围为.
（2）是比更远离的充分不必要条件，
证明：①已知，则，可得，
∴是比更远离的充分条件.
②已知比更远离，则，
∴或，∴或，
∴不是比更远离的必要条件.
综上，是比更远离的充分不必要条件.
（3）证明：∵，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
∵，由（2）可知比更远离，即得证.
18.解：（1）嘉嘉说的对；理由：如图，连接，
则.
∵的度数不变，∴的长度也不变.
（2）①与半圆相切；
证明：如图，过点作于点，则，
∴，∴，∴.
∵，，，∴.
∵半圆的直径为8，∴，∴，
∴，解得，∴，即是⊙的半径，
∴与半圆相切.
②如图，连接，∵，，∴是等边三角形，
∴，.
∵，，∴，
∴阴影部分的面积和为：
.
（3）的中点的运动路径长为.
连接，则，
∴，，
∴，
∴点在以点为圆心，2为半径的圆上运动.
当点与点重合时，如图，；
当点与点重合时，如图，∵是⊙的直径，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴.
19.解：（1）解方程，得，，∴，
∵抛物线与轴相交于两点，
∴，解得，∴该抛物线对应的函数表达式为.
（2）①对于，令，则，∴，
对于，令，则，∴，
∴，∴，
设直线对应的函数表达式为，
将分别代入，得，解得，
∴直线对应的函数表达式为.
联立得，解得，∴.
如图（1）过点作轴于点，
则，，，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴，∴，
设直线对应的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线对应的函数表达式为.
联立得，解得或，
∵点在第三象限，∴.
②设，直线对应的函数表达式为，
设直线对应的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线对应的函数表达式为，
设直线对应的函数表达式为，将代入，得，
∴直线对应的函数表达式为，
联立得，得，∴，
将分别代入，，得，
∴，∴，解得，
将分别代入，，得，
∴,∴，解得，
联立，得
，
∴点在直线上运动，
对于，令，则，∴.
如图（2），作点关于直线的对称点，
连接交直线于点，连接，
则.
由轴对称的性质可得，
∴，
∵，
∴线段的最小值为.

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