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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线 的倾斜角为（ ）
B． D．
点到直线 的距离等于（ ）
B．
C． D．
在空间直角坐标系中，已知点
，若 三点共线，则 的值为（ ）
B． C． D．
两条直线 与之间的距离是（ ）
B． C． D．
若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
B． D．
如图，在四面体中，点 E，F 分别为的中点，则 （ ）
B．
D．
“ ”是“直线和直线平行”的（ ）
充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
棱长为 2 的正四面体 ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，则 （ ）
A．1 B．－1 C． D．
设点 、 ，若直线 l 过点 且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A． 或
C． D．
如图，在正方体中，是 中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则 的取值范围是（ ）
B． D．
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
经过点 ，斜率为 3 的直线方程为．
已知直线和直线 垂直，则实数的值为．
光线从点射到轴上，经反射后经过点 ，则反射光线所在直线的方程为，光线从到的路线长度为.
如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点 分别
在棱上，且 ，则；直线与所成角的余弦值为 .
如图，在棱长为 2 的正方体中，点 E 是的中点，则下列说法正确的有
①． 与平面所成角的正弦值为
②． 与 所成角的余弦值为
③．点 到直线 的距离为
④． 和平面的距离为
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12 分）已知 的顶点坐标分别是
求直线的斜率；
， 为边的中点.
求中线的方程.
17．（15 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
求的最小值.
18．（14 分）在正四棱柱中， ， 是棱 上的中点．
求证： ；
异面直线与所成角的余弦值．
19．（15 分）已知 的顶点为、 、 .
求边所在直线的方程；
求边上的高线所在直线的方程；
求 的面积.
20．（15 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为的正方形， ， ， 分别为 和的中点．
求证：
若已知点到平面的距离 2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面 所成角的正弦值．
条件①：平面平面 ；条件②： ．
21．（15 分）如图，设直线： ， ：点 A 的坐标为过点 A 的直线 l 的斜率为 k，且与， 分别交于点 M， N 的纵坐标均为正数
设 ，求 面积的最小值；
是否存在实数 a，使得的值与 k 无关若存在，求出所有这样的实数 a；若不存在，说明理由．
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线方程。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线 的倾斜角为（ ）
A． B． D．
点 到直线的距离等于（ ）
A． B．
A． B． C． D．
两条直线 与之间的距离是（ ）
若 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B． D．
A． B．
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
设点 、 ，若直线 l 过点且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A．
如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线 与平面所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
B． D．
【解析】如图，设正方体棱长为 1， ，则 ，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.则 ，故 ，
又 ，则 ，所以 .
在正方体 中，可知体对角线 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
所以 .
所以当 时， 取得最大值 ，当 或 1 时， 取得最小值 .
所以 .
故选：A.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
经过点 ，斜率为 3 的直线方程为．
已知直线 和直线 垂直，则实数 的值为．
光线从点射到 轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为，光线从到的路线长度为.
如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为 ，点分别
在棱 上，且 ，则 ；直线与 所成角的余弦值为 .
，
故 ；
，
故
，
故 ，
则
，
故直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为： ；
如图，在棱长为 2 的正方体中，点 E 是 的中点，则下列说法正确的有
①． 与平面所成角的正弦值为
②． 与所成角的余弦值为
③．点 到直线 的距离为
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12 分）已知 的顶点坐标分别是
求直线 的斜率；
求中线 的方程. 16.（12 分）
，为 边的中点.
17．（15 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
求的最小值. 17.（15 分）
18．（14 分）在正四棱柱中，，是棱 上的中点．
求证：；
异面直线 与 所成角的余弦值．
18.（14 分）
19．（15 分）已知的顶点为 、 、 .
求 边所在直线的方程；
求 边上的高线所在直线的方程；
求的面积. 19.（15 分）
20．（15 分）如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为的正方形， ，，分别为 和 的中点．
求证：
若已知点到平面的距离 2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面 所成角的正弦值．
条件①：平面 平面 ；条件②： ．
20.（15 分）
（2）连接 与 交于点 O，连接 ，因为 是正方形，所以 是 ， 的中点，选条件①：因为 ，O 是 AC 的中点，所以 ，
又因为平面 平面 ABCD，交线是 AC，所以 平面 ABCD，所以 ，且 ，
又 ，所以，分别以 OC，OD，OP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
由已知可得 ， ， ， ， ， ，所以 ， ， ，
设平面 MCD 的一个法向量为 ，
则 ，取 ， ，所以 ，设直线 与平面 MCD 所成的角为 ，
所以 ．
选条件②：因为 ， ，O 是 ， 的中点，所以 ， ，
又 ，所以 平面 ABCD，所以 ，又 ，所以，分别以 OC，OD，OP 为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系，以下同条件①．
21．（15 分）如图，设直线 ： ， ： 点 A 的坐标为 过点 A 的直线 l 的斜率为 k，且与 ， 分别交于点 M， N 的纵坐标均为正数
设 ，求 面积的最小值；
是否存在实数 a，使得的值与 k 无关若存在，求出所有这样的实数 a；若不存在，说明理由．
21.（15 分）
【解析】(1)因为直线 l 过点 ，且斜率为 k，所以直线 l 的方程为
因为直线 l 与 ， 分别交于点 M，N，所以 ， 因此由 得 ，即 ，
由 得 ，即
又因为 M，N 的纵坐标均为正数，所以 ，即
而 ，因此
又因为当 时，直线 OA 的方程为 ，
， ，且 ， 所以点 M 到直线 OA 的距离为 ，
点 N 到直线 OA 的距离为 ，
因此 面积
令 ，则 且 ，因此

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