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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若 ，则（ ）
A． B． C．5 D．2
圆心为，且半径为的圆的方程是（ ）
B．
D．
已知两个向量，且，则（ ）
B．
C． D．
已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）
B．
D．
在四面体 中，点是靠近的三等分点，记 ，则 （ ）
B．
D．
已知圆 和圆 ，则它们的位置关系是（ ）
外离 B．相切
C．内含 D．相交
“ ”是“直线与平行”的（ ）
充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知直线： 和直线 ： ，则与间的距离最短值为（ ）
A．1 B． D．2
已知直线，圆 ，若直线上存在两点，圆 上存在点 ，使得
，且 ，则的取值范围是（ ）
B． D．
在平面直角坐标系中，已知点满足，记 为点到直线的距离.当变化时， 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
直线的倾斜角为.
已知空间向量 ，则 .
已知长方体的底面是正方形， ， ， 为棱的中点，则
.
已知点 P 是圆 上的动点，直线：， ：，记 P 到直线，的距离分别为 ，（若 P 在直线上，则记距离为 0），
的最大值为；
若当点 P 在圆上运动时，为定值，则 m 的取值范围是．
如图，正方体的棱长为 1，线段上有两个动点 ，且.则下列结论中正确的有
①．当 向 运动时，二面角的大小不变
②．二面角 的最小值为
③．当 向 运动时， 总成立
④．在方向上的投影向量为
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
求的最小值.
17．（13 分）已知 的三个顶点， ，.
求过点 且与直线平行的直线的方程；
求边的高线所在直线的方程.
18．（14 分）已知向量 .
（Ⅰ）当时，若向量 与垂直，求实数和的值；
（Ⅱ）若向量与向量， 共面，求实数的值.
19．（15 分）已知圆上三点坐标分别为．
求该圆的一般方程；
求弦 BC 垂直平分线的方程；
求 的面积．
20．（15 分）已知点和圆 C： .
求圆 C 的圆心坐标及半径的大小；
求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程；
若直线：与圆 C 交于 O，A 两点，直线： 与圆 C 交于 O， 两点,且，求证：直线 AB 恒过定点.
21．（15 分）如图，在长方体中，和交于点 E，F 为 AB 的中点.
求证： 平面；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
平面与平面 的夹角的余弦值；
点 A 到平面 的距离.条件①： ；
条件②：与平面所成角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若 ，则（ ）
圆心为，且半径为的圆的方程是（ ）
B．
D．
已知两个向量 ，且 ，则（ ）
B．
C． D．
A． B．
D．
在四面体 中，点是 靠近的三等分点，记，则（ ）
B．
已知圆和圆，则它们的位置关系是（ ）
外离 B．相切
C．内含 D．相交
“ ”是“直线与平行”的（ ）
充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
已知直线 ： 和直线 ： ，则 与 间的距离最短值为（ ）
已知直线，圆 ，若直线上存在两点，圆上存在点 ，使得
，且 ，则的取值范围是（ ）
B． D．
在平面直角坐标系中，已知点满足，记 为点到直线 的距离.当 变化时， 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
已知空间向量 ，则 .
已知长方体的底面是正方形， ， ， 为棱 的中点，则
的距离分别为 ，（若 P 在直线上，则记距离为 0），
的最大值为；
若当点 P 在圆上运动时， 为定值，则 m 的取值范围是．
确的有
①．当 向运动时，二面角的大小不变
②．二面角 的最小值为
③．当 向 运动时， 总成立
则 ， ， ，
因为 在 上，且 ，故可设 ， ， ，所以 ， .
对于①，连接 ，平面 即为平面 ，而平面 即为平面 ，故当 向 运动时，二面角 的大小不变，①对；
对于②，设平面 的法向量为 ，又 ，所以
取 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量，又平面 的一个法向量为 ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，故 ，
因为 ，故 ，所以 ，
当且仅当 时 取最大值 ，此时 取最小值 ，②对； 对于③，因为 ，
故 不恒为零，③错；
对于④，因为 ， ，所以 ，故 在 方向上的投影向量为
，④对.
故选：①②④.
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（14 分）已知向量 ，，
求的值；
求；
求的最小值. 16．（14 分）
17．（13 分）已知的三个顶点 ， ，.
求过点 且与直线 平行的直线的方程；
求 边的高线所在直线 的方程. 17．（13 分）
18．（14 分）已知向量，
（Ⅰ）当时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值. 18．（14 分）
19．（15 分）已知圆上三点坐标分别为 ．
求该圆的一般方程；
求弦 BC 垂直平分线的方程；
求 的面积．
19．（15 分）
20．（15 分）已知点 和圆 C： .
求圆 C 的圆心坐标及半径的大小；
求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程；
若直线：与圆 C 交于 O，A 两点，直线 ： 与圆 C 交于 O，两点,且 ，求证：直线 AB 恒过定点.
20．（15 分）
21．（15 分）如图，在长方体 中，和 交于点 E，F 为 AB 的中点.
求证： 平面；
再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
平面与平面 的夹角的余弦值；
点 A 到平面 的距离.条件①： ；
条件②： 与平面所成角为.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 21．（15 分）
【解析】（1）连接 相交于点 G，连接 EG，则 G 是 的中点，由长方体的性质知，点 E 是 的中点，
所以 ， ，
而 F 是 AB 的中点，且 ， ，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）选择条件①： ， 以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
若 ，则 ，解得 ，
（ⅰ） ，
所以 ，
设平面 CEF 的法向量为 ，则 ，令 x=1，则 ，所以 ，
设平面 BCE 的法向量为 ，则 ，令 b=1，则 ，所以 ，
所以 ，
故平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为 .
（ⅱ） ，
由（ⅰ）平面 CEF 的法向量为 ，
所以点 A 到平面 CEF 的距离为 .
选择条件②：B1D 与平面 ADD1A1 所成角为 ，以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 D（0，0，0），B1（2，t，2），
所以 ，
平面 的一个法向量为 ，因为 与平面 所成角为 ，
所以 ，解得 ，
（ⅰ） ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，

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