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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
（江苏专用）
（时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：人教版 2019 选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
经过两点的直线的倾斜角为（ ）
B. C. D.
设直线 ，，则是的（ ）
充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
若平面的法向量为， 平而 的法向量为 ， 直线的方向向量为
，则（ ）
若 ，则 1 B. 若 ，则 2
C. 若 D. 若 ，则
已知直线 与直线平行，则这两条平行直线间的距离为（ ）
B. C. D.
如图，空间四边形 OABC 中， ，点 M 在 OA 上，且，点 N 为 BC 中点，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
已知直线 及两点，.若直线与线段 （ 指向 ）的延长线（不含 点）相交，则实数的取值范围是（ ）
A. C. D.
在三棱锥 中， 为 的重心，，若 交平面 于点，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
已知 ， ， ，一束光线从 F 点出发射到 上的 D 点经
反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（ ）
若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为
经过点，的直线方程均可用 表示
若对空间中任意一点有 ，则， ，， 四点共面
当点 到直线 的距离最大时， 的值为 1
已知点 ，且点 在直线 上，则（ ）
存在点 ，使得
存在点 ，使得
的最小值为
若，则 的最小值为 1
在长方体中，，底面是边长为 3 正方形， ，则下列选项正确的有（ ）
，三棱锥 的体积是定值
当时，存在唯一 使得 平面
当时， 的周长取得最小值
当直线与 所成角的余弦值为时， 的值为
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为为 .
如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 ，底面是正方形，
且
所成角的余弦值为 ．
如图，已知正三棱柱的所有棱长均为 1，则线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知向量 ， ， ．
（1）若 ，求；
（2）若三个向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，求实数 的值．
16.（15 分）
△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ．
求线段 AB中垂线在 x 轴上的截距；
若点 C 的坐标为 ，求△ABC 垂心的坐标．
如图，四棱锥 中， 平面 ，
是 的中点．
求证：
求平面与平面所成角的余弦值；
在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（17 分）
在直角坐标平面 中，已知直线 交轴负半轴于点，交 轴正半轴于点 ，记 的面积为.
求直线经过的定点 的坐标；
证明： ；
是否存在直线 ，使得 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由.
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ，
.
求证：
过直线 与线段的中点 E 的平面与线段 交于点 F.
试确定 F 点位置；
若 H 点为线段 上一动点，求直线 与平面所成角正弦值的最小值.
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
（江苏专用）
（时间：120 分钟 满分：150 分）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
测试范围：人教版 2019 选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线。
难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
经过两点的直线的倾斜角为（ ）
B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，经过 的直线的斜率为 ，设该直线的倾斜角为，则，
所以，即直线的倾斜角为 .
故选：C
设直线 ，，则 是的（ ）
充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，直线，，此时 ，则 ，所以 ，故充分性成立；
当时，，解得 或，故必要性不成立；所以“ ”是“”的充分不必要条件，
故选：C.
若平面的法向量为， 平而 的法向量为 ， 直线的方向向量为
，则（ ）
A. 若 ，则 1 B. 若 ，则2
C. 若 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】对于 A，由 ，得 ，则 ，解得，A 错误；对于 B，由 ，得 ，则 ，解得 ，B 错误；
对于 C，由
对于 D，由 ，得
， ，则 或 ，C 错误； ，则 ，D 正确.
故选：D
已知直线 与直线平行，则这两条平行直线间的距离为（ ）
B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得 ，则 ，解得，经检验符合题意，可得直线 与直线 ，整理可得 ，
两直线之间的距离.
故选：B.
如图，空间四边形 OABC 中， ，点 M 在 OA 上，且，点 N 为 BC 中点，则 等于（ ）

D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
已知直线 及两点，.若直线与线段 （ 指向 ）的延长线（不含 点）相交，则实数的取值范围是（ ）
A. C. D.
【答案】A
【解析】直线 过定点 ，作出图像如下图所示：
， ，直线 的斜率为，
若直线与线段 （ 指向 ）的延长线（不含 点）相交，则，即.
故选：A
在三棱锥 中， 为 的重心，，若 交平面 于点，且，则 的最小值为（ ）
B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
∴ ．
∵四点共面，
∴
∵ ，当且仅当时，等号成立，
∴ 的最小值为 1．故选：C
已知 ， ， ，一束光线从 F 点出发射到 上的 D 点经
反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知， ， ， 则直线 方程为 ，直线 方程为
如图，作 关于 的对称点， ，解得 ，故 ，
再作 关于 的对称点 ，则
连接 ，连接 交 与点 ，则直线 方程为，得，连接 、 分别交 为点、 ，
则直线 方程为，得，
直线 的斜率，方程为，与直线 联立方程组，解得 ，连接 ，，则， 之间即为点的变动范围．
直线 方程为，斜率为 0，
直线 的斜率为 ，
所以 斜率的范围为 ，
故选：D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法正确的是（ ）
若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为
经过点 ，的直线方程均可用 表示
若对空间中任意一点有 ，则， ，， 四点共面
当点 到直线 的距离最大时， 的值为 1
【答案】ABD
【解析】A.由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项 A 正确；
B.经过点 ，的直线方程均可用 表示，选项 B 正确；
对于 C 项：因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以， ，， 四点共面，故 C 正确；
D.将直线方程变形为 ，由
直线 过定点，斜率为.
当直线 与 垂直时，点到直线 的距离最大.
因为 ，所以 ，选项 D 错误；故选：ABC.
已知点 ，且点 在直线 上，则（ ）
存在点 ，使得
存在点 ，使得
的最小值为
若，则 的最小值为 1 10.【答案】BC
【解析】对于 A：设
，此时的斜率不存在，与 不垂直，
去分母整理得，方程无解，故与 不垂直，故 A 错误；对于 B：设，若，
，
由 ，所以方程有解，
则存在点 ，使得 ，故 B 正确；
对于 C：如图设关于直线的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
所以，
当且仅当 三点共线时取等号（ 在线段 之间），故 C 正确：
对于 D，因为，
当 时等号成立，所以的最小值为 1，故 D 错误.
故选：BC.
在长方体 中，，底面是边长为 3 正方形， ，则下列选项正确的有（ ）
，三棱锥 的体积是定值
当时，存在唯一 使得 平面
当时， 的周长取得最小值
当直线与 所成角的余弦值为时， 的值为
11.【答案】ACD
【解析】对于 A，由于平面 ，故 E 到平面 的距离为定值 3，
而的面积为，故三棱锥 的体积为，为定值，A 正确；对于 B，当时，，若 平面，而
故，设，则
即 ，，
即 ，解得 ，
即当时， 上存在两个不同的点 E，使得 平面， 由于 ，即存在不同的 使得 平面 ，B 错误；
对于 C，如图，将四边形 展开到一个平面上，连接，交 于 E 点，
由于 ，故 为三角形 的中位线，即 E 为的中点，则，此时 的值最小，即的周长取得最小值，C 正确；
对于 D，如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
由于 ，故 ，则 ，故 ，
则 ，
解得（负值舍去），D 正确，故选：ACD
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为为 .
12.【答案】 或
【解析】设直线在两坐标轴上的截距分别为：， ，则
① ，则直线过原点，则直线方程为：
② 则 ，则设直线方程为： ，即 ，则 ，∴直线方程为：
综上所述：该直线方程为 或故答案为： 或
13．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 ，底面是正方形， ， ，
且 所成角的余弦值为 ．
13.【答案】
【解析】
如图，分别取 ，则，且，
而
由 ，
，
，设与的所成角为 ，
故答案为： .
14．如图，已知正三棱柱的所有棱长均为 1，则线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为 .
14.【答案】
【解析】在正三棱柱中，在平面 内过 A 作 ，显然射线两两垂直，
以点 A 为原点，射线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
因正三棱柱的所有棱长均为 1，则，
，因动点 P 在线段 上，则令 ，
即有点 ， ，
因此点 P 到直线的距离
，当且仅当时取等号，
所以线段上的动点 P 到直线的距离的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知向量 ， ， ．
（1）若 ，求；
（2）若三个向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，求实数 的值．
15.（13 分）
【解析】（1）已知 ，，可得 ,解得.
所以，则.
根据向量模的计算公式可得 .
（2）已知，
先求出.
因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面.即存在实数，使得 ，则
.
由此可得方程组 由 可得 ，将其代入 中，得到
16.（15 分）
△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ．
求线段 AB中垂线在 x 轴上的截距；
若点 C 的坐标为 ，求△ABC 垂心的坐标．
16.（15 分）
【解析】（1）∵△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ，
∴AB中点是，直线 AB 的斜率是，
∵线段 AB 中垂线与线段 AB 垂直，
∴线段 AB 中垂线的斜率是
∴线段 AB 的中垂线方程是 ，即 x－3y＋3＝0，令 y＝0，得 x＝－3，即线段 AB 的中垂线在 x 轴上的截距为-3；
（2）∵，∴AB 边上的高所在直线的斜率为 ，
∵ ，∴AB 边上的高所在直线的方程为 ，即 x－3y=0，
∵ ，∴AC 边上的高所在直线的斜率为，
∵ ，∴AC 边上的高所在直线的方程为 ，即 2x＋3y-19=0，
联立 x－3y=0 和 2x＋3y-19=0，得
∴△ABC 垂心的坐标为
17．（15 分）
如图，四棱锥 中， 平面 ，
是 的中点．
求证：
求平面 与平面所成角的余弦值；
在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.（15 分）
【解析】（1）
取 的中点，连接 ，因为是 的中点，所以．又因为，所以，
所以四边形 是平行四边形，所以．又因为 平面
所以
（2）
由题意： 平面，且，则 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标系，
又因为， 是 的中点，所以点的坐标为，，
，，
所以平面的法向量为，设平面的法向量为，
，由 ，
可得 ，令，则 ，
所以 ．
所以，平面 与平面所成二面角的余弦值为 ．
（3）设 ，且，，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，可得 ，
令 ，所以 ．
因为点 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得，
所以存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，此时 ．
18．（17 分）
在直角坐标平面 中，已知直线 交轴负半轴于点，交 轴正半轴于点 ，记 的面积为.
求直线经过的定点 的坐标；
证明： ；
是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
18.（17 分）
【解析】（1）直线方程化为 ，
，
所以直线经过的定点 .
（2）
（法一）过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足为、 ，则矩形 的面积 ，
而 的面积大于矩形 的面积，所以 .
（法二）由题意，得，
令，得，则，令 ，得
所以 的面积
，
所以 的面积 .
（3）由
假设存在直线，使得，
即存在直线，使得 ，
由同一三角形面积相等可得此时，由 得直线斜率 ，直线的方程为 ，即 .
19．（17 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ，
.
求证：
过直线 与线段的中点 E 的平面与线段 交于点 F.
试确定 F 点位置；
若 H 点为线段 上一动点，求直线 与平面所成角正弦值的最小值.
19.（17 分）
【解析】（1）
连接 、 ，设，连接 ，
， ， ， ，则 ， ，即 是 的角平分线， ，
平面 ， 平面
（2）
平面 ， ，
因为， ， ，所以，
， ，所以， ，
所以，
， 平面，所以平面 ，
以点 O 为坐标原点， 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
，
C，D，E，F 四点共面，则 ，解得，所以点 F 为靠近 A 的三等分点
（ii）设平面的法向量为，
，可得 ，
设 ，其中 ，
则 ，
所以，
，
因为 ，所以令 ，
所以 ，
设 ，对称轴为，
故当或 1，即 或 1 时， 取得最小值.
因此，当 H 点与 E 点或 F 点重合时直线 与平面所成角的正弦值的最小值为 .

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