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九上第二十四章圆能力提升卷（二）
详解详析
一、选择题
1.D
【解析】车轮都做成圆形，利用了圆心到圆上任意一点的距离都相等，即圆半径都相等，圆心到地面的距离都相等，这样车子才不会颠簸，车子才会行驶的更平稳．
2.D
【解析】 所对的圆周角是∠CDE与∠CAB.
3.A
【解析】经过同一平面内的不在同一直线上的三个点一定可以作一个圆，经过同一直线上的三个点不能作圆．
4.A　
【解析】∵当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外，∴OP＞4.
5.B
6.D
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE 108°，∠COD 72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故选：D．
7.C　
【解析】由题意知OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∵OB为直径，∴∠ODB＝90°，∴∠DOB＝∠DBO＝45°，∴OD＝BD，∴S弓形OD＝S弓形BD，∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOB＝ － ×2×2 ＝π－2.
8.B　
【解析】如解图，作OD⊥AB于点C，交小圆于点D，连接OA，则CD＝2，AC＝BC，∵OA＝OD＝3，CD＝2，∴OC＝1，∴AC＝ ＝2 ，∴AB＝2AC＝4 .
解图
9.B　
【解析】∵⊙O是△ABC的外接圆，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∴D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DE，EF，DF都是△ABC的中位线，∴AC＝2DE，AB＝2FE，BC＝2DF，∵△ABC周长为21，∴△DEF的周长为10.5，∵DE＋DF＝6.5，∴EF＝4.
10.C　
【解析】如解图，过点B作BH⊥CD于点H.∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵∠ABD＝15°，∴∠DAB＝180°－45°－15°＝120°，∴∠BCD＝180°－∠DAB＝60°，∵BH⊥CD，∴∠BHD＝∠BHC＝90°，∴∠HDB＝∠HBD＝45°，∴DH＝BH，BD＝ BH，∵BH＝BC·sin 60°＝ ，∴BD＝ × ＝ .
解图
二、填空题
11.60
【解析】∵在△ABO中，OA＝OB，∠O＝120°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵AC是切线，∴∠OAC＝90°，∴∠CAB＝60°.
12. 　
【解析】由题意得，小狗可活动的区域为一个扇形，此扇形的圆心角为120°，半径为4m，∴可活动的区域的面积＝ ＝ m2.
13.
【解析】如解图，连接AD，CD，AC，BD，BC.∵∠ADC，∠BCD都为圆周角，且∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AC，BD为⊙O的直径，其交点即为圆心O.由勾股定理得AC＝ ＝2 ，∴⊙O的直径为2 .
解图
14.
【解析】如解图，连接OC.∵∠ABC＝∠DBC＝∠DBE，∴ ＝ ＝ .∵点E是 的中点，∴ ＝ ，由折叠的性质可得 ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝3 ，∴∠AOC＝180°÷4＝45°，∴ 的长为 ＝ .
解图
15.4　
【解析】⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，∴∠OEC＝∠ODC＝90°(圆的切线垂直于经过切点的半径)．∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形．∵OE＝OD，∴四边形ODCE是正方形．∵⊙O的半径为2，∴正方形ODCE的面积为4.
16.
【解析】延长BO交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，连接PB．
∵BB′⊥MN，OB＝OB′，∴PB＝PB′，∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，此时PA+PB的值最小，
∵BB′是直径，∴∠BAB′＝90°，
∵BB′＝10，AB＝4，∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′ 2 ，
故答案为2 .
解图
三、解答题
17.解：如解图，正方形ABCD为所作．
解图
18.解：如解图，连接OC，
∵E是 的中点，
∴∠BOE＝∠COE，OD⊥BC，BD＝DC.
∵BC＝6，
∴BD＝3.
设⊙O的半径为r，则OB＝OE＝r.
∵DE＝1，
∴OD＝r－1.
∵OD⊥BC即∠BDO＝90°，
∴OB2＝BD2＋OD2.
∴r2＝32＋(r－1)2.
解得r＝5，
∴OD＝4.
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝ AC，
∴AC＝8.
解图
19.解：(1)如解图，△A′B′C′即为所求；
解图
(2)由题意可知，旋转中心为原点，点A的轨迹为以点O为圆心，OA长为半径的弧，
∵点A的坐标为(1，2)，∴OA＝ ＝ ，
∵将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠AOA′＝90°，∴点A旋转到点A′过程中所经过的路径长为 ＝ .
20.（1）证明：如图①，连接OA，AC，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∵AB与⊙O相切于点A，
∴∠OAB＝90°，
∴∠CAD＝∠OAB＝90°，
∴∠CAD﹣∠OAC＝∠OAB﹣∠OAC，
即∠OAD＝∠BAC，
∵OD＝OA，
∴∠D＝∠OAD，
∴∠D＝∠BAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠D+∠B＝90°；
答案图①
（2）如图②，过点C作CH⊥AB，垂足为H，
由题意得，CH＝18cm，
∵∠D+∠B＝90°，∠B＝60°，
∴∠D＝90°﹣∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠D＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝OC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝30°，
∴AC＝2CH＝36cm，
∴OC＝AC＝36cm，
∴CD＝2OC＝72cm，
∴轮胎的直径为72cm．
答案图②
21.(1)证明：∵DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝90°，
∴∠ADF＋∠BDC＝90°.
∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝90°.∴∠A＝∠ADF，∴AF＝DF；
(2)解：如解图，设BC与⊙O交于点G，连接OE，OG，DG，
∵∠A＝30°，∴∠C＝60°，
∵BD＝BC，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝DC，
∵BD是⊙O的直径，∴∠DGB＝90°，∴点G是BC的中点，∴OG∥CE，∴∠CGO＝120°，
同理∠CEO＝120°，∴∠EOG＝60°，
∵OG＝OE，∴四边形CGOE是菱形．
∴S阴影＝S菱形CGOE－S扇形EOG＝6×3 － ＝18 －6π.
解图
22.(1)证明：如解图，连接OC，∴∠BOC＝2∠BAC，
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝∠BOC，∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；
解图
(2)解：∵AB＝4，OA＝OB，∴OA＝OB＝2，
∵OB＝OC＝BF，∴OB＝OC＝BF＝2，∴OF＝4，
由(1)知，OC⊥CE，∴在Rt△OCF中，CF＝ ＝2 .
设点C到AF的距离为h，∴S△OCF＝ OC·CF＝ OF·h，
∴OC·CF＝OF·h，即2×2 ＝4h，解得h＝ ，
∴点C到AF的距离为 .
23. (1)证明：如图，连接OA，延长CD交⊙O于点H，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，…………(2分)
∴∠G＝∠ACD，
∵AB⊥CD，CH是⊙O的直径，
∴ ＝ ，
∴∠HOA＝∠HOB，
∵∠HOA＝2∠ACD，
∴∠BOD＝2∠ACD＝2∠G；…………(3分)

(2)解：如图，连接OE，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°，
又∵∠F＝90°，OD⊥AB，
∴四边形DFEO是矩形，
∴OE＝DF，OD＝FE＝2，
设OE＝r，则BD＝r－1，
在Rt△OBD中，OD2＋BD2＝OB2，即22＋(r－1)2＝r2，
解得r＝ ，
∴OE＝ ，BD＝ ，
∴BD＝AD＝ ，DF＝OE＝ ，
∵CD∥FG，
∴ ＝ ＝ .…………(8分)
数学试卷 第页（共页）九上第二十四章圆能力提升卷（二）
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
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一、选择题
1.“车轮为什么都做成圆形？”，下面解释最合理的是(　　)
A. 圆形是轴对称图形
B. 圆形特别美观大方
C. 圆形是曲线图形
D. 从圆心到圆上任意一点的距离都相等
2.如图，在半圆O中，AB为直径，下列四个选项中 所对的圆周角是(　　)

A.∠BEC B.∠DCE C．∠ABC D.∠CDE
3.画一个圆，同时经过平面内的三个点，那么符合条件的圆(　　)
A. 最多有1个 B. 只有1个 C．最少有1个 D. 有无数个
4.已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外部，则OP需要满足的条件是(　　)
A.OP>4 B.0≤OP<4 C.OP>2 D.0≤OP<2
5.在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
6.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（　　）
A．60° B．54° C．48° D．36°
7.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形AOB内，以OB为直径作圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是(　　)
A. －1 B.
C. π－2 D. π－1
8.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径)是6cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是(　　)
A. 6 cm
B. 4 cm
C. 4 cm
D. 4 cm
9.如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为(　　)
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC，若∠ABD＝15°，BC＝2，则BD的长为（ ）
A. B.
C. D. 2
二、填空题
11.如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线．如果∠O＝120°，那么当∠CAB＝____°时，AC才能成为⊙O的切线．

12.如图，墙OA，OB的夹角∠AOB＝120°，一根4m长的绳子一端拴在墙角O处，另一端拴着一只小狗，则小狗可活动的区域的面积是______m2.(结果保留π)
13.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，⊙O过格点A，B，C，D，则⊙O的直径长为 ，并在网格中标注圆心O的位置．
　　　
14.如图，C是半圆O上一点，AB是直径，将弓形BC沿BC翻折交AB于点D，再将弓形BD沿BD翻折交BC于点E，若点E是 的中点，OA＝2，则 的长为 ．
15.如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心作⊙O与直角边BC，AC分别相切于D，E两点，连接OD，OE，若⊙O的半径为2，则四边形ODCE的面积为______．
16.如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB＝4，OB＝5，P是MN上的一动点，则PA＋PB的最小值为______.
三、解答题
17.如图，已知AC是⊙O的直径，请用尺规作图法，求作⊙O的内接正方形ABCD.(保留作图痕迹，不写作法)
18.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，E是 的中点，OE交BC于点D. 连接AC，若BC＝6，DE＝1，求AC的长．
19.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(5，3)，C(5，5)．现将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A′B′C′.
(1)画出旋转后的△A′B′C′；
(2)求点A旋转到点A′过程中所经过的路径长．
20.停车楔（如图①）被誉为“防溜车神器”，是一种固定汽车轮胎的装置，在大型货车于坡道停车时，放停车楔的作用尤为重要．如图②所示是轮胎和停车楔的示意图，当车停于水平地面上时，将停车楔B 置于轮胎⊙O后方即可防止车辆倒退，此时 紧贴轮胎，边AB与地面重合且与轮胎⊙O相切于点A．为了更好地研究这个停车楔与轮胎⊙O的关系，小文在示意图②上，连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD后发现AD∥BC．
（1）求证：∠D+∠B＝90°；
（2）如果此停车楔的高度为18cm（点C到AB所在直线的距离），支撑边BC与底边AB的夹角∠B＝60°，求轮胎的直径．

21.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边上一点，且BD＝BC，以BD为直径的⊙O交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，交AB于点F.
(1)求证：AF＝DF；
(2)若⊙O的半径为6，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．
22.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，且位于AB异侧，∠ABD＝2∠BAC，过点C作CE⊥DB交DB的延长线于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：CF为⊙O的切线；
(2)若OB＝BF，AB＝4，求点C到AF的距离．
23.如图，AB、AC是⊙O的弦，连接CO并延长，交AB于点D，且CD⊥AB，点E是 上一点，过点E作AB的垂线，垂足为F，交AC的延长线于点G.

(1)求证：∠BOD＝2∠G；
(2)若FG是⊙O的切线，BF＝1，EF＝2，求 的值．
数学试卷 第1页（共2页） 数学试卷 第2页（共2页）

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