初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 能力提升卷(二)(含答案)

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初中数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 能力提升卷(二)(含答案)

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九上第四章图形的相似能力提升卷(二)
学校:______________ 班级:______________ 姓名:______________
建议时长:90分钟
一、选择题
1.下列各组中的四条线段是成比例线段的是(  )
A.1cm,2cm,3cm,4cm
B.2cm,4cm,6cm,8cm
C.1cm, cm, cm,2cm
D.2cm,3cm,4cm,6cm
2.若两个相似三角形的面积比是1∶9,则它们对应边的中线之比为(  )
A. 1∶9 B. 3∶1 C. 1∶3 D. 9∶1
3.一个三层折叠花架如图所示,已知AB//CD//EF,AC=30cm,CE=50cm,BD=45cm,则BF=(  )

A. 60cm B. 65cm C. 75cm D. 120cm
4.如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9
5.如图,在下列四个条件:①∠B=∠C,②∠ADB=∠AEC,③AD:AC=AE:AB,④PE:PD=PB:PC中,随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是(  )
A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.1
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,放置边长分别为3,4,x的三个正方形,则x的值为(  )
A.12 B.7 C.6 D.5
7.如图,在菱形ABCD中,AC=2,BD=4,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD和DA上,且EF∥AC.若四边形EFGH是正方形,则EF的长为( )
A. B.1
C. D.2
8.甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛,两人同时从点B出发,沿着平行四边形边缘顺时针跑步,且甲的速度是乙的速度的2倍.当甲到达点E,乙到达点F时,甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上,此时,点B处一根杆子的影子(太阳光照射)刚好在对角线BD上,则CE的长为( )  
A.4m B.8m C.12m D.16m
9.如图,在 ABCD中,AB=5,AD=8,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=4,则△CEF的周长为(  )
A. B.
C. D.
10.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M,给出下列结论:①△BAE∽△CAD;②AP⊥CD;③2CB2=CP CM;其中所有正确的结论序号为(  )
A.① B.①② C.①②③ D.②③
二、填空题
11.已知 = = = ,且2b-4d+10f≠0,则 =    .
12.如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,已知每个小正方形的边长都是1,△ABC与△A′B′C′的顶点都在正方形网格的格点上,且△ABC与△A′B′C′为位似图形,则位似中心的坐标为 .
13.如图,BD是Rt△ABC斜边AC上的高,DE⊥AB于点E,则图中与△ABC相似的三角形有________个.
14.如图是一个棕色细口瓶的截面示意图,为测量棕色细口瓶的内径AB,天天同学找来一个交叉卡钳(AC=BD),放进未使用过的棕色细口瓶内,缓缓张到最大的角度.若 = = ,且测量得CD=6cm,则细口瓶的内径AB为________cm.
15.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别是AD,BC边的中点,连接EF,若矩形ABFE与矩形ABCD相似,AB=4,则矩形ABCD的面积为 .
16.如图,在菱形ABCD中,AB=4,点P是BC上的动点,连接AC,DP交于点Q,将△ABP沿AP翻折,点B的对应点恰好与点Q重合,若∠CDP=∠PCA,则DQ的长为 .
17.如图,在△ABC中∠C=90°,AC=6,BC=8.点D是BC上的中点.点P是边AB上的动点,若要使△BPD为直角三角形,则BP= .
18.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中,如图所示,其中四本竖放,第五本斜放,点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm,高度为20 cm,书架宽为40 cm,则FI的长 ____.
三、解答题
19.如图,l1//l2//l3,AB=3,AD=2,DE=4,EF=7.5,求BC、BF的长.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,在BC边上利用尺规求作一点P,使得△BAP∽△BCA(不必写作法,保留作图痕迹).
21.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点均在正方形网格的格点上,已知点C的坐标为(-4,1).
(1)以点O为位似中心,在给出的网格内画△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC位似,并且点C1的坐标为(8,-2);
(2)△ABC与△A1B1C1的相似比是 ________.
22.法门寺位于炎帝故里、青铜器之乡——宝鸡市扶风县,始建于东汉末年桓灵年间,距今约有1700多年历史,法门寺被誉为“关中塔庙始祖”,其中的“真身宝塔”是全国重点保护文物.某数学兴趣小组开展了“测量真身宝塔高度”的实践活动,在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆CD,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,宝塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得EC=3米,将标杆CD向右平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,宝塔的塔尖点B正好在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得FG=6米,GC=67.5米.请你根据以上数据,计算真身宝塔的高度AB.
23.已知,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1)如图①,若四边形ABCD是平行四边形,试探究:当∠B与∠EGC满足什么关系时,使得 = 成立?并证明你的结论;
(2)如图②,若BA=BC=4,DA=DC=6,∠BAD=90°,DE⊥CF,求 的值.
数学试卷 第1页(共2页) 数学试卷 第2页(共2页)九上第四章图形的相似能力提升卷(二)
详解详析
一、选择题
1.D
【解析】A.1:2≠3:4,∴A选项不符合题意;B.2:4≠6:8,∴B选项不符合题意;C.1: :2,∴C选项不符合题意;D.2:3=4:6,则2cm,3cm,4cm,6cm成比例线段,∴D选项符合题意.
2.C
【解析】∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方,两个相似三角形的面积之比为1∶9,∴它们对应边上的中线之比为1∶3.
3.D
【解析】∵AB//CD//EF,∴ = ,∵AC=30cm,CE=50cm,BD=45cm,∴ = ,解得DF=75cm,∴BF=BD+DF=45+75=120(cm).
4.A 
【解析】∵△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,∴△ABC∽△DEF.∵相似比为1∶2,∴△ABC与△DEF周长之比为1∶2.
5.C
【解析】由题意得:∠DPC=∠EPB,①∠B=∠C,根据两角相等的两个三角形相似可得:△BPE∽△CPD;②∵∠ADB=∠AEC,∴∠PDC=∠PEB,可得:△BPE∽△CPD;③∵AD:AC=AE:AB,∠A=∠A,∴△ADB和△AEC不相似,∴∠B≠∠C,故③不能使△BPE∽△CPD;④PE:PD=PB:PC,根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得:△BPE∽△CPD;∴在四个条件中,随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是:0.75.
6.B
【解析】如图,∵在Rt△ABC中(∠C=90°),放置边长分别3,4,x的三个正方形,∴△CEF∽△OME∽△PFN,∴OE:PN=OM:PF,∵EF=x,MO=3,PN=4,∴OE=x-3,PF=x-4,∴(x-3):4=3:(x-4),∴(x-3)(x-4)=12,即x2-4x-3x+12=12,解得x=0(不符合题意,舍去)或x=7.
7.C
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵四边形EFGH是正方形,∴EH=EF,EF⊥EH,
∵EF∥AC,∴EF⊥BD,∴EH∥BD,
∵EF∥AC,EH∥BD,∴ , ,∴ 1,∴EF ,
故选:C.
8.B
【解析】连接EF,如解图所示,设BF=xm,则BC+CE=2x m,∵甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上,此时,点B处一根杆子的影子(太阳光照射)刚好在对角线BD上,∴EF//BD,∴△CEF∽△CDB,∴ ,∴ ,解得x= ,∴2x 40=8,即CE=8m.
解图
9.D 
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA,.∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=BA=5,∴CE=BC-BE=3.∵BG⊥AE.∴AG=GE= AE,在Rt△ABG中,AG= =3,∴AE=2AG=6,∴△ABE的周长等于5+5+6=16.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CF,∴△CEF∽△BEA,相似比为3∶5,∴△CEF的周长为 .
10.C
【解析】∵△ABC,△ADE是等腰直角三角形,∴ ,∠BAC=∠DAE=45°,∴ ,∠BAE=∠CAD=135°,∴△BAE∽△CAD,故①正确;∵△BAE∽△CAD,∴∠BEA=∠CDA,
∴点A、D、E、P四点共圆,∴∠APM=∠DEM=90°,∴AP⊥CD,故②正确;∵∠CAB=∠DAE=45°,∴∠CAM=90°,由②得AP⊥CD,∴∠CPA=∠CAM=90°,又∵∠ACP=∠MCA,
∴△CAP∽△CMA,∴ ,即CP CM=AC2,∵AC CB,∴2CB2=CP CM,故③正确.
二、填空题
11.
【解析】∵ = = = ,∴a= b,c= d,e= f,
∴ = = = .
12.
【解析】如图,连接A′A,B′B并延长交于一点P,点P即为所求.由网格图形可知,点P的坐标为(-4,-3).

13.4 
【解析】观察题图可知,与△ABC相似的三角形有△BDC,△ADB,△AED,△DEB,共4个.
14.9 
【解析】∵ = = ,∠COD=∠AOB,∴△COD∽△AOB(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似),∴ = .∵CD=6cm,∴AB=9cm.
15.
【解析】设AE=x,则AD=2AE=2x,∵矩形ABFE与矩形ABCD相似,∴ ,即 ,解得x=2 (负值已舍去),∴AD=2x=4 ,∴矩形ABCD的面积为AB AD=4×4 16 .
16.2 -2
【解析】∵四边形ABCD是菱形,AB=4,∴AD∥BC,AD=BC=AB=4,∴∠DAP=∠APB.
由翻折的性质可得△ABP≌△AQP,∴BP=QP,∠APB=∠APQ,∴∠DAP=∠DPA,∴DA=DP=4.
设BP=QP=x,则PC=4-x.∵∠CDP=∠PCA,∠DPC=∠CPQ,∴△DCP∽△CQP,∴ = ,即CP2=DP·PQ,∴(4-x)2=4x,解得x=6-2 或x=6+2 (舍去),∴PQ=BP=6-2 .∴DQ=DP-PQ=2 -2.
17.5或
【解析】解:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB= =10,∵D是BC中点,∴CD=BD=4,
分两种情形:①当∠DPB=90°时,△DPB∽△ACB,∴ = ,∴ = ,∴BP= .
②当∠PDB=90°,易证:DP∥AC,∵CD=DB,∴AP=PB=5,
综上所述,满足条件的PB的值为5或 .故答案为5或
18. cm
【解析】由题知,CI=BI-BC=40-20=20 cm,EF=20 cm,FG=5 cm,
∵∠EFC+∠CEF=90°,∠EFC+∠GFI=90°,∴∠CEF=∠GFI,∵∠ECF=∠FIG=90°,
∴△GIF∽△FCE,∴ = ,即 = ,∴CE=4FI,在Rt△CEF中,由勾股定理得CE2+CF2=EF2,即(4FI)2+(20-FI)2=202,解得FI= 或FI=0(舍去),故答案为: cm.
三、解答题
19.解:∵l1//l2//l3,
∴ = ,
∵AB=3,AD=2,DE=4,
∴ = ,解得BC=6;
∵l1//l2//l3,
∴ = ,
∴ = ,解得BF=2.5.
20.解:如图所示:△BAP∽△BCA,点P即为所求.
21.解:(1)△A1B1C1如图所示.

(2)△ABC与△A1B1C1的相似比是1∶2.
22.解:根据题意得,∠DEC=∠BEA,∠DCE=∠BAC=90°,
∴△EDC∽△EBA,
∴ ,
根据题意得,∠HFG=∠BFA,∠HGF=∠BAC=90°,
∴△FHG∽△FBA,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴AC=67.5米,
∵ ,
∴ ,
∴AB=47米,
答:真身宝塔的高度AB为47米.
23.解:(1)当∠B+∠EGC=180°时, = 成立.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠ADC,AD∥BC,∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EGC=180°,∴∠A=∠EGC=∠FGD,
∵∠FDG=∠EDA,∴△DFG∽△DEA,∴ = ,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,∴∠CGD=∠CDF,
∵∠GCD=∠DCF,∴△CGD∽△CDF,
∴ = ,∴ = ,∴ = ,
∴当∠B+∠EGC=180°时, = 成立;
(2)如解图,过点C作CN⊥AD于点N,CM⊥AB交AB的延长线于点M,连接BD,设CN=x,
∵∠BAD=90°,即AB⊥AD,∴∠A=∠M=∠CNA=90°,
∴四边形AMCN是矩形,∴AM=CN,AN=CM,
在△BAD和△BCD中,
,∴△BAD≌△BCD(SSS),
∴∠BCD=∠A=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC+∠CBM=180°,∴∠MBC=∠ADC,
∵∠CND=∠M=90°,∴△BCM∽△DCN,
∴ = ,即 = ,∴CM= x,
在Rt△CMB中,由勾股定理得,BM2+CM2=BC2,
∵CM= x,BM=AM-AB=x-4,∴(x-4)2+( x)2=42,
解得x=0(舍去)或x= ,∴CN= ,
∵∠A=∠FGD=90°,∴∠AED+∠AFG=180°,
∵∠AFG+∠NFC=180°,∴∠AED=∠NFC,
∵∠A=∠CNF=90°,∴△AED∽△NFC,
∴ = = = .
解图
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