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26.3解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
2．在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，过D 作于 点E，若，，则 的长为（ ）
A． B．3 C． D．
5．如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
7．在中，，、、所对的边分别为、、，下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．如图，中，，，于点D，E是线段BD上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，，，则的值为 ．
14．在中，，，，则边长为 ．
15．如图，在中，，则的长为 ．
16．在中，，，，则
17．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，，求和的长．
19．如图，在矩形中，，，点E在上，且，过点D作于点F．
(1)求的三角函数值；
(2)求的三角函数值．
20．如图，在中，，，，，，交．求：
(1)的长；
(2)的值．
21．如图，在中，，，，求的度数．
22．如图，已知在中，，垂足为点D，，,，点E是边的中点．
(1)求边的长；
(2)求的正切值．
23．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．

(1)求证：．
(2)求需要绿化的空地的面积．
24．在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．
阅读以上内容，回答下列问题：在中，．
(1)如图③ ，若，则__，_____；．
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示）
《26.3解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C A C C C A D
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过C作于D，证明，可得，再求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过C作于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
故选D．
2．D
【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。
【详解】解： 在Rt△ABC中，
,
,
．
故选：D．
3．D
【分析】由勾股定理求，从而可求得，即可判定A；利用等腰三角形的性质与折叠的性质证明，即可得出结论，可判定B；利用平行线的性质和折叠的性质得，再由直角三角形两锐角互余，求得，从而得出，即，可判定C；根据，在中，，由于，则，可判定D．
【详解】解：A．∵，，，∴，又∵，∴，正确，故此选项不符合题意；
B．∵，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴，正确，故此选项不符合题意；
C．∵，∴，∵，∴，∴，∴，即，正确，故此选项不符合题意；
D．∵，∴，∴，在中，，又∵，∴，∴错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
4．C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明，，根据可得答案．
【详解】解：在平行四边形中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选：C
5．A
【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标．
【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则，
∵矩形中，，，，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∴在中，，，
∴在中，，，
∴在中，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为．
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义及勾股定理是解题的关键．根据的正切值用表示出，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（负值舍去）．
∴，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握三角形的边角关系．根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：在中，，、、所对的边分别为、、，
∴，，，，
∴，，，，只有C符合题意，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求得，据此求解即可．
【详解】解：过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了解直角三角形，垂线段最短，掌握转化思想是解题的关键．
作于，于，由得，继而通过解直角三角形将转化为，而，即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，当点共线，且点与点重合时，取得最小值，
∴
故选：A．
10．D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【详解】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质，解直角三角形得到，设，则；由菱形的性质可得，，则，，再根据正切的定义求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
12．B
【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴．
故选B．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形及特殊角的三角函数值，能够根据题意构建含有特殊角的直角三角形是解决本题的关键．
由题目中它的邻补角是一个特殊角，考虑延长、构造含有的直角三角形（图见详解）即、．通过的正弦函数值、余弦函数值求得、、的值，再根据勾股定理计算得到的值．进而在、中求得、的值，即可得到的值．
【详解】解过点作交的延长线于，交的延长线于．
，
．
又，．
．
．
．
．
．
．
故答案为：．
14．7或17
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论．根据题意可以画出符合条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题．
【详解】解：在中，过点作，交于点，如图，
∴在中，，
，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
，
∴在中，由勾股定理得：，，
，
或，
故答案为：7或17．
15．/
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解．
【详解】解：如图所示，作于，
设，
，
，
，，
，
即，
解得：，
在中，，
即：，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】根据的正弦求出，再根据30°的正弦值求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可．
【详解】解：如图，过点作交延长线于，则，
，，
，
∵，
∴，
∴设，则，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．，
【分析】本题考查了解直角三角形．作于点D，证明为等腰直角三角形，求得，在中利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：作于点D，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，，．
19．(1)，，
(2)，，
【分析】（1）根据矩形性质得出，，，，证明，根据勾股定理得出，根据三角函数定义求出结果即可；
（2）连接，证明，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中根据勾股定理得：
，
∴，
，
．
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理可得，
∴，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，相关的判定和性质．
20．(1)
(2)1
【分析】（1）由锐角三角函数定义求出，再由勾股定理求出的长即可；
（2）先利用勾股定理求得，从而得到是等腰直角三角形，可求得，再求得，即可由特殊角三角函数值得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
由（1）知，
由勾股定理得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形、特殊角三角函数值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
21．
【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，如图，过点A作，交的延长线于点D．设，则．再利用勾股定理求解，再进一步求解可得答案．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点D．
设，则．
在和中，
由勾股定理，得，
即，
化简得，
解得．
∴．
在中，
∵，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】（1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）过点E作于点H．求出，，可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于点H．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行线的判定、平行线分线段成比例、三角形的中位线性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得；
（2）根据代入公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即．
（2）解：在中，，
在中，．
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．(1)；；
(2)
【分析】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形．
（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；
（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得，
由材料可得：
故答案为；；
（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：
则，，，
在中，，
在中，，
在中，，
则
则
故答案为．
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