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26.4解直角三角形的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒
A． B．
C． D．
2．如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（ ）．
A．米 B．米
C．米 D．米
3．如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）

A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
4．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．图1是某市一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2 所示，它是一个轴对称图形， ，， 则双翼边缘端点 与 之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶4千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在地的北偏东方向，那么B，C两地的距离为（ ）

A．千米 B．千米 C．千米 D．8千米
7．重庆是美丽的山城，某大楼依山而建，如果要进入大楼可以从G处沿水平方向行走150米到D大门处，或者从E处沿坡比的斜坡行走130米到F处，再沿水平方向行走到M大门处，在G处仰望大楼顶端B处仰角为32°，则大楼的上部分的高度为（ ）（参考数据：，，）
A．43米 B．77.5米 C．79.5米 D．93米
8．如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，若斜坡的坡度为，则斜坡的长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，小明在点处仰头看到一架直升机正从点处沿水平方向飞行，此刻望向楼顶处的仰角为，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像.已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（ ）
A．2秒 B．秒 C．秒 D．条件不足，无法计算
11．一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为（　　）
A．700米 B．米 C．米 D．米
12．如图，一块矩形薄木板斜靠在墙角处（，点，，，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，一山坡的坡度，则该坡角的度数 ．
14．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；）
15．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．
16．如图，在东西方向的海岸边上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行 海里．
17．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，设太阳光线与地面的夹角为，测得，，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 m．
三、解答题
18．某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，）
19．如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知 ，，与的夹角 为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据： ）

20．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（）
21．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田（为水平状态）高度为的点处测得边界处的俯角为，无人机垂直下降至处，又测得边界处俯角为．已知点，，，在同一平面内，求试验田边界，之间的距离（参考数据：，，，，结果精确到）．
22．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，．点到点的距离是视线距离．
(1)如图，当，时，求视线距离的长；
(2)如图，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：，，）
23．图（1）是一种安全平推窗在开启时的状态，图（2）是其中一个连接件的平面图． 测得，， 求B， D 两点间的距离．（结果精确到， 参考数据：）

24．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，大坝高米，坝顶宽米，
(1)求大坝横截面的面积；
(2)求大坝横截面的周长．（坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值）
《26.4解直角三角形的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C D A A B C C
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
作，根据解直角三角形求出，，继而得到，计算即可得到答案．
【详解】解：如图，作，
，
，，
，，
米，
，，
，
小车过山洞的平均速度为米/秒，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，米，，
∴，
∴米，
∵点是的中点，
∴米，
故选：．
3．C
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：由题意可知：在中，，厘米，
，
（厘米），
故选：C．
4．C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案.
【详解】解：由题意得，在中，
，
在中，，
∴ 米．
故选：C
5．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，如图，作直线，交双翼闸机于点、，由轴对称图形的性质得，，解得出，根据，即可求解．
【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点、，由轴对称图形的性质得，，
由题意可得，，
在中，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质和计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键；过点B作于点D，根据，，利用三角形内角和定理求出，在得出长度，，利用勾股定理求出，即再次利用勾股定理求出的长．
【详解】如图所示：过点B作于点D，

由题意得：，，
，
，
，
，，
（千米），，
（千米），
（千米），
故选：A
7．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，作于， 根据矩形的性质得到，根据坡度的概念和勾股定理求出，根据正切的概念求出，计算即可.
【详解】解：作于，则四边形为矩形，
∴，设米， 则米，
由勾股定理得
解得， ， 即米，
∴米，
在中，
即米，
∴(米) ，
故选： A.
8．B
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题以及坡度坡角问题．过点作于点，根据三角函数的定义得到，根据已知条件得到，求得，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图所示：过点作于点，
斜面坡度为，
，
在处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，
，
，
，
，
，
解得：，
故米，
故选：B．
9．C
【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论．
【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则,
∵斜坡,，设，
∴，
∵,则，
∴，
∵长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
即古塔的高度为米，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
10．C
【分析】延长交于点，设飞机速度为，利用三角函数解直角三角形分别用含有的代数式表示，，的长，最后算出时间即可．
【详解】解：延长交于点，设飞机速度为，
由题意得：
∵
∴
∵
∴
∴那么飞机被大楼遮住之前，能录像的时长为：
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数，熟练运用特殊角的三角函数值解直角三角形是解决本题的关键．
11．B
【分析】设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为，
∴水平距离为米，
由勾股定理得：，
解得：，（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12．C
【分析】过点作于，于，则点到的距离是，根据已知条件可证明得四边形是矩形，且，在中，，可求得，在中，，可求得，由，即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作于，于，
∴到的距离是，
∵，矩形，即，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
在中，，
∴，即，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角形函数的计算方法，掌握矩形中，对边平行且相等，锐角三角函数中正弦、余弦的计算方法是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了坡度的定义，特殊角的三角函数值，由定义得，即可求解；掌握是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
14．/595千米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．
过点作于点，构造出两个直角三角形，在中利用锐角三角函数的定义求出及的长，再放在中求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：如图，过点作于点，
地位于地北偏东方向，距离地，
， ，
在，，，
地位于地南偏东方向，
，
在，，
．
答：地到地之间高铁线路的长为，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
【详解】解：坡比，，
，即，
解得，
（米），
故答案为：4．
16．
【分析】如图，过点作于，根据平行线的性质得出，，根据甲船速度可求出的长，利用的余弦函数可求出的长，利用的余弦函数求出即可得答案；本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
【详解】如图，过点作于，
∴，
∴，，
∵甲货以4海里/小时的速度，行驶2小时，
∴，
∴，
∴，
∴乙货船每小时航行（海里），
故答案为：
17．
【分析】作平行线，根据平行线分线段成比例定理可知，由与影子的比为，可得的长，同法由等角的正弦可得的长，从而得结论．
【详解】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∵ ，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，即
∴，
以点O为圆心的长为半径作圆，当与共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18．建筑的高度约为599米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果．
【详解】解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形，
∴，
在中，；
在中，，
∴；
答：建筑的高度约为599米．
19．农夫所在的E处到地面的高度为米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作于H，

∵米，，米，米，
∴，米，米，
∴，
在中，米；
答：农夫所在的E处到地面的高度为米．
20．教学楼的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，．
在中，，
，
（米，
（米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
是等腰直角三角形，
米，
（米，
答：教学楼的高度为米．
21．试验田边界，之间的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．延长交于点，在和在中，利用锐角三角函数定义求得、即可求解．
【详解】解：延长交于点，由题意得：
，，，
，
．
在中，，
．
在中，，
．
．
试验田边界，之间的距离约为．
22．(1)视线距离的长为；
(2)需要将支架调整到．
【分析】（）连接，延长交于点，根据题意可得四边形是矩形，，再由勾股定理即可求解；
（）连接，延长交于点，由题意可得：，，，，再由余弦即可求解；
本题考查了平行线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用及正确做出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，
根据题意可得四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴视线距离的长为；
（2）解：如图，连接，延长交于点，
由题意可得：，，，，
在中，，即，
∴，
∴，
∴需要将支架调整到．
23．19.3厘米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，连接，过点O作，垂足为点H，利用三线合一和锐角三角函数，求出的长即可
【详解】解：连接，过点O作，垂足为点H，则：．

∵，
，
在中，
，
∴．
答：B，D两点间的距离为．
24．(1)2800
(2)
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，勾股定理，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
（1）首先根据坡度的概念求出米，米，进而求解即可；
（2）首先根据勾股定理求出，，进而求解即可．
【详解】（1）∵迎水坡的坡比为，米，
∴，即
∴米；
∵背水坡的坡比为，米，
∴，即
∴米
∴大坝横截面的面积为；
（2）∵，米，米，
∴米
∵，米，米
∴米
∴周长为米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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